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Beliebt Trigonometrie >

6sin(x)+cos^2(x)=2

Lösung

6 sin (x) + cos^{2} (x) = 2

Lösung

x = 0.17242 \dots + 2 πn, x = π - 0.17242 \dots + 2 πn

Grad

x = 9.87928 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 170.12071 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

6 sin (x) + cos^{2} (x) = 2

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

6 sin (x) + cos^{2} (x) - 2 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 2 + cos^{2} (x) + 6 sin (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 2 + 1 - sin^{2} (x) + 6 sin (x)

Vereinfache

= 6 sin (x) - sin^{2} (x) - 1

- 1 - sin^{2} (x) + 6 sin (x) = 0

Löse mit Substitution

- 1 - sin^{2} (x) + 6 sin (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 1 - u^{2} + 6 u = 0

- 1 - u^{2} + 6 u = 0 : u = 3 - 22, u = 3 + 22

- 1 - u^{2} + 6 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} + 6 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- u^{2} + 6 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 1, b = 6, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 ( - 1 ) ( - 1 )}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 ( - 1 ) ( - 1 )}{2 ( - 1 )}

6^{2} - 4 (- 1) (- 1) = 42

6^{2} - 4 (- 1) (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 6^{2} - 4

6^{2} = 36

= 36 - 4

Subtrahiere die Zahlen:

36 - 4 = 32

= 32

Primfaktorzerlegung von

32 : 2^{5}

32

32

ist durch

232 = 16 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 16

16

ist durch

216 = 8 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{5}

= 2^{5}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{4}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2

Fasse zusammen

= 42

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 4 2}{2 ( - 1 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 6 + 4 2}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- 6 - 4 2}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 6 + 4 2}{2 ( - 1 )} : 3 - 22

\frac{- 6 + 4 2}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 6 + 4 2}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 6 + 4 2}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 6 + 42 = - (6 - 42)

= \frac{6 - 4 2}{2}

Faktorisiere

6 - 42 : 2 (3 - 22)

6 - 42

Schreibe um

= 2 \cdot 3 - 2 \cdot 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (3 - 22)

= \frac{2 ( 3 - 2 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 3 - 22

u = \frac{- 6 - 4 2}{2 ( - 1 )} : 3 + 22

\frac{- 6 - 4 2}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 6 - 4 2}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 6 - 4 2}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 6 - 42 = - (6 + 42)

= \frac{6 + 4 2}{2}

Faktorisiere

6 + 42 : 2 (3 + 22)

6 + 42

Schreibe um

= 2 \cdot 3 + 2 \cdot 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (3 + 22)

= \frac{2 ( 3 + 2 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 3 + 22

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 3 - 22, u = 3 + 22

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = 3 - 22, sin (x) = 3 + 22

sin (x) = 3 - 22, sin (x) = 3 + 22

sin (x) = 3 - 22 : x = arcsin (3 - 22) + 2 πn, x = π - arcsin (3 - 22) + 2 πn

sin (x) = 3 - 22

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = 3 - 22

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 3 - 22

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (3 - 22) + 2 πn, x = π - arcsin (3 - 22) + 2 πn

x = arcsin (3 - 22) + 2 πn, x = π - arcsin (3 - 22) + 2 πn

sin (x) = 3 + 22 :

Keine Lösung

sin (x) = 3 + 22

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (3 - 22) + 2 πn, x = π - arcsin (3 - 22) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.17242 \dots + 2 πn, x = π - 0.17242 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

5=10sin(x)

5 = 10 sin (x)

8sin(x)+7=4cos^2(x)

8 sin (x) + 7 = 4 cos^{2} (x)

tanh(x)= 1/2

tanh (x) = \frac{1}{2}

sqrt(2)cos(x)-sqrt(2)sin(x)=2

2 cos (x) - 2 sin (x) = 2

sin^2(x)-3sin(x)=-2

sin^{2} (x) - 3 sin (x) = - 2