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Beliebt Trigonometrie >

3sin(θ)=1+cos(θ)

Lösung

3 sin (θ) = 1 + cos (θ)

Lösung

θ = π + 2 πn, θ = 0.64350 \dots + 2 πn

Grad

θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 36.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 sin (θ) = 1 + cos (θ)

Quadriere beide Seiten

(3 sin (θ))^{2} = (1 + cos (θ))^{2}

Subtrahiere

(1 + cos (θ))^{2}

von beiden Seiten

9 sin^{2} (θ) - 1 - 2 cos (θ) - cos^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 9 sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 1 - cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 9 (1 - cos^{2} (θ))

Vereinfache

- 1 - cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 9 (1 - cos^{2} (θ)) : - 10 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 8

- 1 - cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 9 (1 - cos^{2} (θ))

Multipliziere aus

9 (1 - cos^{2} (θ)) : 9 - 9 cos^{2} (θ)

9 (1 - cos^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= 9 \cdot 1 - 9 cos^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 cos^{2} (θ)

= - 1 - cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 9 - 9 cos^{2} (θ)

Vereinfache

- 1 - cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 9 - 9 cos^{2} (θ) : - 10 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 8

- 1 - cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 9 - 9 cos^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) - 9 cos^{2} (θ) - 1 + 9

Addiere gleiche Elemente:

- cos^{2} (θ) - 9 cos^{2} (θ) = - 10 cos^{2} (θ)

= - 10 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) - 1 + 9

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 9 = 8

= - 10 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 8

= - 10 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 8

= - 10 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) + 8

8 - 10 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) = 0

Löse mit Substitution

8 - 10 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

8 - 10 u^{2} - 2 u = 0

8 - 10 u^{2} - 2 u = 0 : u = - 1, u = \frac{4}{5}

8 - 10 u^{2} - 2 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 10 u^{2} - 2 u + 8 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 10 u^{2} - 2 u + 8 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 10, b = - 2, c = 8

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 10 ) \cdot 8}{2 ( - 10 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 10 ) \cdot 8}{2 ( - 10 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 10) \cdot 8 = 18

(- 2)^{2} - 4 (- 10) \cdot 8

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 10 \cdot 8

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 10 \cdot 8

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 10 \cdot 8 = 320

= 2^{2} + 320

2^{2} = 4

= 4 + 320

Addiere die Zahlen:

4 + 320 = 324

= 324

Faktorisiere die Zahl:

324 = 1 8^{2}

= 1 8^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 8^{2} = 18

= 18

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 18}{2 ( - 10 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 18}{2 ( - 10 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 18}{2 ( - 10 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 18}{2 ( - 10 )} : - 1

\frac{- ( - 2 ) + 18}{2 ( - 10 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 18}{- 2 \cdot 10}

Addiere die Zahlen:

2 + 18 = 20

= \frac{20}{- 2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{20}{- 20}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{20}{20}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 18}{2 ( - 10 )} : \frac{4}{5}

\frac{- ( - 2 ) - 18}{2 ( - 10 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 18}{- 2 \cdot 10}

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 18 = - 16

= \frac{- 16}{- 2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 16}{- 20}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{16}{20}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{4}{5}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1, u = \frac{4}{5}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = - 1, cos (θ) = \frac{4}{5}

cos (θ) = - 1, cos (θ) = \frac{4}{5}

cos (θ) = - 1 : θ = π + 2 πn

cos (θ) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = π + 2 πn

θ = π + 2 πn

cos (θ) = \frac{4}{5} : θ = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{4}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{4}{5}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{4}{5}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = π + 2 πn, θ = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

3 sin (θ) = 1 + cos (θ)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

π + 2 πn :

Wahr

π + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + 2 π 1

Setze

θ = π + 2 π 1

3 sin (θ) = 1 + cos (θ)

ein, um zu lösen

3 sin (π + 2 π 1) = 1 + cos (π + 2 π 1)

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn :

Wahr

arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

Setze

θ = arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

3 sin (θ) = 1 + cos (θ)

ein, um zu lösen

3 sin (arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = 1 + cos (arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

1.8 = 1.8

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn :

Falsch

2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

Setze

θ = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

3 sin (θ) = 1 + cos (θ)

ein, um zu lösen

3 sin (2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = 1 + cos (2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 1.8 = 1.8

\Rightarrow Falsch

θ = π + 2 πn, θ = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = π + 2 πn, θ = 0.64350 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sqrt(2)sin(x)-sqrt(2)cos(x)=2

2 sin (x) - 2 cos (x) = 2

tan(x)= 9/12

tan (x) = \frac{9}{12}

cos(x)= 24/25

cos (x) = \frac{24}{25}

2(tan(θ)+3)=5+tan(θ),0<= θ<2pi

2 (tan (θ) + 3) = 5 + tan (θ), 0 \leq θ < 2 π

cos(3x)=cos(2x)cos(x)

cos (3 x) = cos (2 x) cos (x)