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Popolare Trigonometria >

tan(-pi/4)<= tan(a/2)<= tan(pi/4)

Soluzione

tan (- \frac{π}{4}) \leq tan (\frac{a}{2}) \leq tan (\frac{π}{4})

Soluzione

2 πn \leq a \leq \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn \leq a < 2 π + 2 πn

Notazione dell’intervallo

[2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn] \cup [\frac{3 π}{2} + 2 πn, 2 π + 2 πn)

Decimale

2 πn \leq a \leq 1.57079 \dots + 2 πn or 4.71238 \dots + 2 πn \leq a < 6.28318 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

tan (- \frac{π}{4}) \leq tan (\frac{a}{2}) \leq tan (\frac{π}{4})

a \leq u \leq b

allora

a \leq u and u \leq b

tan (- \frac{π}{4}) \leq tan (\frac{a}{2}) and tan (\frac{a}{2}) \leq tan (\frac{π}{4})

tan (- \frac{π}{4}) \leq tan (\frac{a}{2}) : - \frac{π}{2} + 2 πn \leq a < π + 2 πn

tan (- \frac{π}{4}) \leq tan (\frac{a}{2})

Scambia i lati

tan (\frac{a}{2}) \geq tan (- \frac{π}{4})

Semplificare

tan (- \frac{π}{4}) : - 1

tan (- \frac{π}{4})

Usare la proprietà seguente:

tan (- x) = - tan (x)

tan (- \frac{π}{4}) = - tan (\frac{π}{4})

= - tan (\frac{π}{4})

Usare la seguente identità triviale:

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

tan (x)

periodicità tabella con

πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= 1

= - 1

tan (x) \geq a

allora

arctan (a) + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

arctan (- 1) + πn \leq \frac{a}{2} < \frac{π}{2} + πn

a \leq u < b

allora

a \leq u and u < b

arctan (- 1) + πn \leq \frac{a}{2} and \frac{a}{2} < \frac{π}{2} + πn

arctan (- 1) + πn \leq \frac{a}{2} : a \geq - \frac{π}{2} + 2 πn

arctan (- 1) + πn \leq \frac{a}{2}

Scambia i lati

\frac{a}{2} \geq arctan (- 1) + πn

Semplificare

arctan (- 1) + πn : - \frac{π}{4} + πn

arctan (- 1) + πn

arctan (- 1) = - \frac{π}{4}

arctan (- 1)

Usare la proprietà seguente:

arctan (- x) = - arctan (x)

arctan (- 1) = - arctan (1)

= - arctan (1)

Usare la seguente identità triviale:

arctan (1) = \frac{π}{4}

arctan (1)

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4} + πn

\frac{a}{2} \geq - \frac{π}{4} + πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{a}{2} \geq - \frac{π}{4} + πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{2 a}{2} \geq - 2 \cdot \frac{π}{4} + 2 πn

Semplificare

\frac{2 a}{2} \geq - 2 \cdot \frac{π}{4} + 2 πn

Semplificare

\frac{2 a}{2} : a

\frac{2 a}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= a

Semplificare

- 2 \cdot \frac{π}{4} + 2 πn : - \frac{π}{2} + 2 πn

- 2 \cdot \frac{π}{4} + 2 πn

2 \cdot \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

2 \cdot \frac{π}{4}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{4}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2} + 2 πn

a \geq - \frac{π}{2} + 2 πn

a \geq - \frac{π}{2} + 2 πn

a \geq - \frac{π}{2} + 2 πn

\frac{a}{2} < \frac{π}{2} + πn : a < π + 2 πn

\frac{a}{2} < \frac{π}{2} + πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{a}{2} < \frac{π}{2} + πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{2 a}{2} < 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 πn

Semplificare

\frac{2 a}{2} < 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 πn

Semplificare

\frac{2 a}{2} : a

\frac{2 a}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= a

Semplificare

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 πn : π + 2 πn

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 πn

2 \cdot \frac{π}{2} = π

2 \cdot \frac{π}{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= π

= π + 2 πn

a < π + 2 πn

a < π + 2 πn

a < π + 2 πn

Combina gli intervalli

a \geq - \frac{π}{2} + 2 πn and a < π + 2 πn

Unire gli intervalli sovrapposti

- \frac{π}{2} + 2 πn \leq a < π + 2 πn

tan (\frac{a}{2}) \leq tan (\frac{π}{4}) : - π + 2 πn < a \leq \frac{π}{2} + 2 πn

tan (\frac{a}{2}) \leq tan (\frac{π}{4})

Usare la seguente identità triviale:

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (x)

periodicità tabella con

πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

tan (\frac{a}{2}) \leq 1

tan (x) \leq a

allora

- \frac{π}{2} + πn < x \leq arctan (a) + πn

- \frac{π}{2} + πn < \frac{a}{2} \leq arctan (1) + πn

a < u \leq b

allora

a < u and u \leq b

- \frac{π}{2} + πn < \frac{a}{2} and \frac{a}{2} \leq arctan (1) + πn

- \frac{π}{2} + πn < \frac{a}{2} : a > - π + 2 πn

- \frac{π}{2} + πn < \frac{a}{2}

Scambia i lati

\frac{a}{2} > - \frac{π}{2} + πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{a}{2} > - \frac{π}{2} + πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{2 a}{2} > - 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 πn

Semplificare

\frac{2 a}{2} > - 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 πn

Semplificare

\frac{2 a}{2} : a

\frac{2 a}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= a

Semplificare

- 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 πn : - π + 2 πn

- 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 πn

2 \cdot \frac{π}{2} = π

2 \cdot \frac{π}{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= π

= - π + 2 πn

a > - π + 2 πn

a > - π + 2 πn

a > - π + 2 πn

\frac{a}{2} \leq arctan (1) + πn : a \leq \frac{π}{2} + 2 πn

\frac{a}{2} \leq arctan (1) + πn

Semplificare

arctan (1) + πn : \frac{π}{4} + πn

arctan (1) + πn

Usare la seguente identità triviale:

arctan (1) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4} + πn

\frac{a}{2} \leq \frac{π}{4} + πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{a}{2} \leq \frac{π}{4} + πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{2 a}{2} \leq 2 \cdot \frac{π}{4} + 2 πn

Semplificare

\frac{2 a}{2} \leq 2 \cdot \frac{π}{4} + 2 πn

Semplificare

\frac{2 a}{2} : a

\frac{2 a}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= a

Semplificare

2 \cdot \frac{π}{4} + 2 πn : \frac{π}{2} + 2 πn

2 \cdot \frac{π}{4} + 2 πn

2 \cdot \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

2 \cdot \frac{π}{4}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{4}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{π}{2}

= \frac{π}{2} + 2 πn

a \leq \frac{π}{2} + 2 πn

a \leq \frac{π}{2} + 2 πn

a \leq \frac{π}{2} + 2 πn

Combina gli intervalli

a > - π + 2 πn and a \leq \frac{π}{2} + 2 πn

Unire gli intervalli sovrapposti

- π + 2 πn < a \leq \frac{π}{2} + 2 πn

Combina gli intervalli

- \frac{π}{2} + 2 πn \leq a < π + 2 πn and - π + 2 πn < a \leq \frac{π}{2} + 2 πn

Unire gli intervalli sovrapposti

2 πn \leq a \leq \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn \leq a < 2 π + 2 πn

Esempi popolari

sqrt((1+cos(θ))^2+(sin(θ))^2)0<= θ<= 2pi

(1 + cos (θ))^{2} + (sin (θ))^{2} 0 \leq θ \leq 2 π

0<sin(x+pi/3)<2pi

0 < sin (x + \frac{π}{3}) < 2 π

-pi/2 <arctan(x)< pi/2

- \frac{π}{2} < arctan (x) < \frac{π}{2}

0<sin(2x)<2sqrt(2)

0 < sin (2 x) < 22

sin(t)<0\land cos(t)>0

sin (t) < 0 and cos (t) > 0