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Beliebt Trigonometrie >

-2<= 2/(cos(x))<= 2

Lösung

- 2 \leq \frac{2}{cos ( x )} \leq 2

Lösung

x = π + 2 πn

Dezimale

x = 3.14159 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

- 2 \leq \frac{2}{cos ( x )} \leq 2

Wenn

a \leq u \leq b

dann

a \leq u and u \leq b

- 2 \leq \frac{2}{cos ( x )} and \frac{2}{cos ( x )} \leq 2

- 2 \leq \frac{2}{cos ( x )} : - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or x = π + 2 πn

- 2 \leq \frac{2}{cos ( x )}

Tausche die Seiten

\frac{2}{cos ( x )} \geq - 2

Rewrite in standard form

\frac{2}{cos ( x )} \geq - 2

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

\frac{2}{cos ( x )} + 2 \geq - 2 + 2

Vereinfache

\frac{2}{cos ( x )} + 2 \geq 0

Vereinfache

\frac{2}{cos ( x )} + 2 : \frac{2 + 2 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{2}{cos ( x )} + 2

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 = \frac{2 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{2}{cos ( x )} + \frac{2 cos ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + 2 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{2 + 2 cos ( x )}{cos ( x )} \geq 0

\frac{2 + 2 cos ( x )}{cos ( x )} \geq 0

Faktorisiere

\frac{2 + 2 cos ( x )}{cos ( x )} : \frac{2 ( cos ( x ) + 1 )}{cos ( x )}

\frac{2 + 2 cos ( x )}{cos ( x )}

Faktorisiere

2 cos (x) + 2 : 2 (cos (x) + 1)

2 cos (x) + 2

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (cos (x) + 1)

= \frac{2 ( cos ( x ) + 1 )}{cos ( x )}

\frac{2 ( cos ( x ) + 1 )}{cos ( x )} \geq 0

Teile beide Seiten durch

2

\frac{\frac{2 ( c o s ( x ) + 1 )}{c o s ( x )}}{2} \geq \frac{0}{2}

Vereinfache

\frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )} \geq 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

\frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

Finde die Vorzeichen von

cos (x) + 1

cos (x) + 1 = 0 : cos (x) = - 1

cos (x) + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

cos (x) + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

cos (x) + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

cos (x) = - 1

cos (x) = - 1

cos (x) + 1 < 0 : cos (x) < - 1

cos (x) + 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

cos (x) + 1 < 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

cos (x) + 1 - 1 < 0 - 1

Vereinfache

cos (x) < - 1

cos (x) < - 1

cos (x) + 1 > 0 : cos (x) > - 1

cos (x) + 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

cos (x) + 1 > 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

cos (x) + 1 - 1 > 0 - 1

Vereinfache

cos (x) > - 1

cos (x) > - 1

Finde die Vorzeichen von

cos (x)

cos (x) = 0

cos (x) < 0

cos (x) > 0

Finde Singularitätspunkte

Finde die Nullstellen des Nenners

cos (x) : cos (x) = 0

Fasse in einer Tabelle zusammen:

cos (x) + 1 cos (x) \frac{c o s ( x ) + 1}{c o s ( x )} cos (x) < - 1 - - + cos (x) = - 1 0 - 0 - 1 < cos (x) < 0 + - - cos (x) = 0 + 0 Unbestimmt cos (x) > 0 + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\geq 0

cos (x) < - 1 or cos (x) = - 1 or cos (x) > 0

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

cos (x) \leq - 1 or cos (x) > 0

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

cos (x) < - 1

oder

cos (x) = - 1

cos (x) \leq - 1

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

cos (x) \leq - 1

oder

cos (x) > 0

cos (x) \leq - 1 or cos (x) > 0

cos (x) \leq - 1 or cos (x) > 0

cos (x) \leq - 1 or cos (x) > 0

cos (x) \leq - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) \leq - 1

Für

cos (x) \leq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- 1) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (- 1) + 2 πn

Vereinfache

arccos (- 1) : π

arccos (- 1)

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (- 1) = π

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= π

Vereinfache

2 π - arccos (- 1) : π

2 π - arccos (- 1)

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (- 1) = π

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - π

Addiere gleiche Elemente:

2 π - π = π

= π

π + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

Vereinfache

x = π + 2 πn

cos (x) > 0 : - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

cos (x) > 0

Für

cos (x) > a

, wenn

- 1 \leq a < 1

dann

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn < x < arccos (0) + 2 πn

Vereinfache

- arccos (0) : - \frac{π}{2}

- arccos (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{2}

Vereinfache

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

x = π + 2 πn or - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or x = π + 2 πn

\frac{2}{cos ( x )} \leq 2 : \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

\frac{2}{cos ( x )} \leq 2

Rewrite in standard form

\frac{2}{cos ( x )} \leq 2

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

\frac{2}{cos ( x )} - 2 \leq 2 - 2

Vereinfache

\frac{2}{cos ( x )} - 2 \leq 0

Vereinfache

\frac{2}{cos ( x )} - 2 : \frac{2 - 2 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{2}{cos ( x )} - 2

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 = \frac{2 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{2}{cos ( x )} - \frac{2 cos ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 - 2 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{2 - 2 cos ( x )}{cos ( x )} \leq 0

\frac{2 - 2 cos ( x )}{cos ( x )} \leq 0

Faktorisiere

\frac{2 - 2 cos ( x )}{cos ( x )} : \frac{- 2 ( cos ( x ) - 1 )}{cos ( x )}

\frac{2 - 2 cos ( x )}{cos ( x )}

Faktorisiere

- 2 cos (x) + 2 : - 2 (cos (x) - 1)

- 2 cos (x) + 2

Klammere gleiche Terme aus

- 2

= - 2 (cos (x) - 1)

= \frac{- 2 ( cos ( x ) - 1 )}{cos ( x )}

\frac{- 2 ( cos ( x ) - 1 )}{cos ( x )} \leq 0

Multipliziere beide Seiten mit

- 1

(drehe die Ungleichung um)

\frac{( - 2 ( cos ( x ) - 1 ) ) ( - 1 )}{cos ( x )} \geq 0 \cdot (- 1)

Vereinfache

\frac{2 ( cos ( x ) - 1 )}{cos ( x )} \geq 0

Teile beide Seiten durch

2

\frac{\frac{2 ( c o s ( x ) - 1 )}{c o s ( x )}}{2} \geq \frac{0}{2}

Vereinfache

\frac{cos ( x ) - 1}{cos ( x )} \geq 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

\frac{cos ( x ) - 1}{cos ( x )}

Finde die Vorzeichen von

cos (x) - 1

cos (x) - 1 = 0 : cos (x) = 1

cos (x) - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

cos (x) - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

cos (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

cos (x) = 1

cos (x) = 1

cos (x) - 1 < 0 : cos (x) < 1

cos (x) - 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

cos (x) - 1 < 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

cos (x) - 1 + 1 < 0 + 1

Vereinfache

cos (x) < 1

cos (x) < 1

cos (x) - 1 > 0 : cos (x) > 1

cos (x) - 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

cos (x) - 1 > 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

cos (x) - 1 + 1 > 0 + 1

Vereinfache

cos (x) > 1

cos (x) > 1

Finde die Vorzeichen von

cos (x)

cos (x) = 0

cos (x) < 0

cos (x) > 0

Finde Singularitätspunkte

Finde die Nullstellen des Nenners

cos (x) : cos (x) = 0

Fasse in einer Tabelle zusammen:

cos (x) - 1 cos (x) \frac{c o s ( x ) - 1}{c o s ( x )} cos (x) < 0 - - + cos (x) = 0 - 0 Unbestimmt 0 < cos (x) < 1 - + - cos (x) = 1 0 + 0 cos (x) > 1 + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\geq 0

cos (x) < 0 or cos (x) = 1 or cos (x) > 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

cos (x) < 0 or cos (x) = 1 or cos (x) > 1

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

cos (x) < 0

oder

cos (x) = 1

cos (x) < 0 or cos (x) = 1

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

cos (x) < 0 or cos (x) = 1

oder

cos (x) > 1

cos (x) < 0 or cos (x) \geq 1

cos (x) < 0 or cos (x) \geq 1

cos (x) < 0 or cos (x) \geq 1

cos (x) < 0 : \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) < 0

Für

cos (x) < a

, wenn

- 1 < a \leq 1

dann

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (0) + 2 πn < x < 2 π - arccos (0) + 2 πn

Vereinfache

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

Vereinfache

2 π - arccos (0) : \frac{3 π}{2}

2 π - arccos (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{2}

Vereinfache

2 π - \frac{π}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 π = \frac{2 π 2}{2}

= \frac{2 π 2}{2} - \frac{π}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 2 - π}{2}

2 π 2 - π = 3 π

2 π 2 - π

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 π - π

Addiere gleiche Elemente:

4 π - π = 3 π

= 3 π

= \frac{3 π}{2}

= \frac{3 π}{2}

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) \geq 1 :

Keine Lösung für

x \in R

cos (x) \geq 1

Für

cos (x) \geq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (1) + 2 πn \leq x \leq arccos (1) + 2 πn

Vereinfache

- arccos (1) : 0

- arccos (1)

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (1) = 0

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - 0

= 0

Vereinfache

arccos (1) : 0

arccos (1)

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (1) = 0

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 0

0 + 2 πn \leq x \leq 0 + 2 πn

Vereinfache

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Kombiniere die Bereiche

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

(- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or x = π + 2 πn) and \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

x = π + 2 πn

Beliebte Beispiele

-2<= 2/(cos(x))<= 1

- 2 \leq \frac{2}{cos ( x )} \leq 1

2-4sin(3x)0<= x<= 2pi

2 - 4 sin (3 x) 0 \leq x \leq 2 π

0<2sin(x)cos(x)<2sqrt(2)

0 < 2 sin (x) cos (x) < 22

cot(θ)>0\land csc(θ)<0

cot (θ) > 0 and csc (θ) < 0

sin(A)=(-4)/5 \land cos(A)>0,cos(A)

sin (A) = \frac{- 4}{5} and cos (A) > 0, cos (A)