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Beliebt Trigonometrie >

sin(x)+cos^2(x)<1

Lösung

sin (x) + cos^{2} (x) < 1

Lösung

- π + 2 πn < x < 2 πn

Intervall-Notation

(- π + 2 πn, 2 πn)

Dezimale

- 3.14159 \dots + 2 πn < x < 2 πn

Schritte zur Lösung

sin (x) + cos^{2} (x) < 1

Verwende die folgenden Identitäten:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Deshalb

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

sin (x) + 1 - sin^{2} (x) < 1

Angenommen:

u = sin (x)

u + 1 - u^{2} < 1

u + 1 - u^{2} < 1 : u < 0 or u > 1

u + 1 - u^{2} < 1

Rewrite in standard form

u + 1 - u^{2} < 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - u^{2} - 1 < 1 - 1

Vereinfache

- u^{2} + u < 0

- u^{2} + u < 0

Faktorisiere

- u^{2} + u : - u (u - 1)

- u^{2} + u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= - uu + u

Klammere gleiche Terme aus

- u

= - u (u - 1)

- u (u - 1) < 0

Multipliziere beide Seiten mit

- 1

(drehe die Ungleichung um)

(- u (u - 1)) (- 1) > 0 \cdot (- 1)

Vereinfache

u (u - 1) > 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

u (u - 1)

Finde die Vorzeichen von

u

u = 0

u < 0

u > 0

Finde die Vorzeichen von

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 < 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 < 0 + 1

Vereinfache

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 > 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 > 0 + 1

Vereinfache

u > 1

u > 1

Fasse in einer Tabelle zusammen:

u u - 1 u (u - 1) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

> 0

u < 0 or u > 1

u < 0 or u > 1

u < 0 or u > 1

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) < 0 or sin (x) > 1

sin (x) < 0 : - π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) < 0

Für

sin (x) < a

, wenn

- 1 < a \leq 1

dann

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn < x < arcsin (0) + 2 πn

Vereinfache

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

Vereinfache

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn < x < 0 + 2 πn

Vereinfache

- π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) > 1 :

Falsch für alle

x \in R

sin (x) > 1

Bereich von

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

sin

function is

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) > 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Falsch

Angenommen

y = sin (x)

Kombiniere die Bereiche

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y > 1

und

- 1 \leq y \leq 1

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Kombiniere die Bereiche

- π + 2 πn < x < 2 πn or Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

- π + 2 πn < x < 2 πn

Beliebte Beispiele

-2cos(x+pi/6)>1

- 2 cos (x + \frac{π}{6}) > 1

tan(x)*sin(x)> 1/(2cos(x))

tan (x) \cdot sin (x) > \frac{1}{2 cos ( x )}

solvefor c,sin(xcos(2x))<= 1

so l v e f or c, sin (x cos (2 x)) \leq 1

cos(5x)cos(x/4)-sin(5x)sin(x/4)>=-(sqrt(2))/2

cos (5 x) cos (\frac{x}{4}) - sin (5 x) sin (\frac{x}{4}) \geq - \frac{2}{2}

2sin(x/2)-1>= 0

2 sin (\frac{x}{2}) - 1 \geq 0