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cos^2(x)-cos(2x)>0

Lösung

cos^{2} (x) - cos (2 x) > 0

2 πn < x < π + 2 πn or - π + 2 πn < x < 2 πn

Intervall-Notation

(2 πn, π + 2 πn) \cup (- π + 2 πn, 2 πn)

Dezimale

2 πn < x < 3.14159 \dots + 2 πn or - 3.14159 \dots + 2 πn < x < 2 πn

Schritte zur Lösung

cos^{2} (x) - cos (2 x) > 0

Verwende die folgenden Identitäten:

cos (2 x) = cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

- (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) + cos^{2} (x) > 0

Vereinfache

sin^{2} (x) > 0

Für

u^{n} > 0

, wenn

n

ist gerade dann

u < 0

u > 0

sin (x) < 0 or sin (x) > 0

sin (x) < 0 : - π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) < 0

Für

sin (x) < a

, wenn

- 1 < a \leq 1

dann

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn < x < arcsin (0) + 2 πn

Vereinfache

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

Vereinfache

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn < x < 0 + 2 πn

Vereinfache

- π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) > 0 : 2 πn < x < π + 2 πn

sin (x) > 0

Für

sin (x) > a

, wenn

- 1 \leq a < 1

dann

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn < x < π - arcsin (0) + 2 πn

Vereinfache

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

Vereinfache

π - arcsin (0) : π

π - arcsin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn < x < π + 2 πn

Vereinfache

2 πn < x < π + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

- π + 2 πn < x < 2 πn or 2 πn < x < π + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

2 πn < x < π + 2 πn or - π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) + cos^{2} (x) < 1

- 2 cos (x + \frac{π}{6}) > 1

tan (x) \cdot sin (x) > \frac{1}{2 cos ( x )}

so l v e f or c, sin (x cos (2 x)) \leq 1

cos (5 x) cos (\frac{x}{4}) - sin (5 x) sin (\frac{x}{4}) \geq - \frac{2}{2}