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Popolare Trigonometria >

cos(2x)<cos(4x)

Soluzione

cos (2 x) < cos (4 x)

Soluzione

\frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

Notazione dell’intervallo

(\frac{π}{3} + πn, \frac{2 π}{3} + πn)

Decimale

1.04719 \dots + πn < x < 2.09439 \dots + πn

Fasi della soluzione

cos (2 x) < cos (4 x)

Spostare

cos (4 x)

a sinistra dell'equazione

cos (2 x) < cos (4 x)

Sottrarre

cos (4 x)

da entrambi i lati

cos (2 x) - cos (4 x) < cos (4 x) - cos (4 x)

cos (2 x) - cos (4 x) < 0

cos (2 x) - cos (4 x) < 0

Sia:

u = 2 x

cos (u) - cos (2 u) < 0

cos (u) - cos (2 u) < 0 : \frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (u) - cos (2 u) < 0

Usare l'identità seguente:

cos (2 x) = - 1 + 2 cos^{2} (x)

- (- 1 + 2 cos^{2} (u)) + cos (u) < 0

Semplificare

1 - 2 cos^{2} (u) + cos (u) < 0

Sia:

v = cos (u)

1 - 2 v^{2} + v < 0

1 - 2 v^{2} + v < 0 : v < - \frac{1}{2} or v > 1

1 - 2 v^{2} + v < 0

Fattorizza

1 - 2 v^{2} + v : - (2 v + 1) (v - 1)

1 - 2 v^{2} + v

Fattorizzare dal termine comune

- 1

= - (2 v^{2} - v - 1)

Fattorizza

2 v^{2} - v - 1 : (2 v + 1) (v - 1)

2 v^{2} - v - 1

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c

= 2 v^{2} - v - 1

Suddividere l'espressione in gruppi

2 v^{2} - v - 1

Definizione

Fattori di

2 : 1, 2

2

Divisori (Fattori)

Trova i fattori primi di

2 : 2

2

2

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 2

Aggiungi 1

1

I fattori di

2

1, 2

Fattori negativi di

2 : - 1, - 2

Moltiplica i fattori per

- 1

per ottenere i fattori negativi

- 1, - 2

Per ogni due fattori tali che

u * v = - 2,

controllare se

u + v = - 1

Verifica

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

VeroVerifica

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Falso

u = 1, v = - 2

Raggruppa in

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 v^{2} + v) + (- 2 v - 1)

= (2 v^{2} + v) + (- 2 v - 1)

Fattorizza

v

2 v^{2} + v : v (2 v + 1)

2 v^{2} + v

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

v^{2} = vv

= 2 vv + v

Fattorizzare dal termine comune

v

= v (2 v + 1)

Fattorizza

- 1

- 2 v - 1 : - (2 v + 1)

- 2 v - 1

Fattorizzare dal termine comune

- 1

= - (2 v + 1)

= v (2 v + 1) - (2 v + 1)

Fattorizzare dal termine comune

2 v + 1

= (2 v + 1) (v - 1)

= - (2 v + 1) (v - 1)

- (2 v + 1) (v - 1) < 0

Moltiplicare entrambi i lati per

- 1

(invertire l'ineguaglianza)

(- (2 v + 1) (v - 1)) (- 1) > 0 \cdot (- 1)

Semplificare

(2 v + 1) (v - 1) > 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

(2 v + 1) (v - 1)

Trova i segni di

2 v + 1

2 v + 1 = 0 : v = - \frac{1}{2}

2 v + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 v + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

2 v + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

2 v = - 1

2 v = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 v = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 v}{2} = \frac{- 1}{2}

Semplificare

v = - \frac{1}{2}

v = - \frac{1}{2}

2 v + 1 < 0 : v < - \frac{1}{2}

2 v + 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 v + 1 < 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

2 v + 1 - 1 < 0 - 1

Semplificare

2 v < - 1

2 v < - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 v < - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 v}{2} < \frac{- 1}{2}

Semplificare

v < - \frac{1}{2}

v < - \frac{1}{2}

2 v + 1 > 0 : v > - \frac{1}{2}

2 v + 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 v + 1 > 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

2 v + 1 - 1 > 0 - 1

Semplificare

2 v > - 1

2 v > - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 v > - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 v}{2} > \frac{- 1}{2}

Semplificare

v > - \frac{1}{2}

v > - \frac{1}{2}

Trova i segni di

v - 1

v - 1 = 0 : v = 1

v - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

v - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

v - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

v = 1

v = 1

v - 1 < 0 : v < 1

v - 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

v - 1 < 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

v - 1 + 1 < 0 + 1

Semplificare

v < 1

v < 1

v - 1 > 0 : v > 1

v - 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

v - 1 > 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

v - 1 + 1 > 0 + 1

Semplificare

v > 1

v > 1

Riassumere in una tabella:

2 v + 1 v - 1 (2 v + 1) (v - 1) v < - \frac{1}{2} - - + v = - \frac{1}{2} 0 - 0 - \frac{1}{2} < v < 1 + - - v = 1 + 00 v > 1 + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

> 0

v < - \frac{1}{2} or v > 1

v < - \frac{1}{2} or v > 1

v < - \frac{1}{2} or v > 1

Sostituire indietro

v = cos (u)

cos (u) < - \frac{1}{2} or cos (u) > 1

cos (u) < - \frac{1}{2} : \frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (u) < - \frac{1}{2}

Per

cos (x) < a

, se

- 1 < a \leq 1

allora

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn < u < 2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Semplificare

arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{2 π}{3}

arccos (- \frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{2 π}{3}

Semplificare

2 π - arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{4 π}{3}

2 π - arccos (- \frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{2 π}{3}

Semplificare

2 π - \frac{2 π}{3}

Converti l'elemento in frazione:

2 π = \frac{2 π 3}{3}

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{2 π}{3}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 3 - 2 π}{3}

2 π 3 - 2 π = 4 π

2 π 3 - 2 π

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 3 = 6

= 6 π - 2 π

Aggiungi elementi simili:

6 π - 2 π = 4 π

= 4 π

= \frac{4 π}{3}

= \frac{4 π}{3}

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (u) > 1 :

Falso per tutti

u \in R

cos (u) > 1

Intervallo di

cos (u) : - 1 \leq cos (u) \leq 1

Definizione dell'intervallo di valori della funzione

L'intervallo della funzione di base

cos

- 1 \leq cos (u) \leq 1

- 1 \leq cos (u) \leq 1

cos (u) > 1 and - 1 \leq cos (u) \leq 1 :

Falso

Lasciare

y = cos (u)

Combina gli intervalli

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

Unire gli intervalli sovrapposti

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

y > 1

- 1 \leq y \leq 1

Falso per tutti y \in R

Falso per tutti y \in R

Nessuna soluzione per u \in R

Falso per tutti u \in R

Combina gli intervalli

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn or Falso per tutti u \in R

Unire gli intervalli sovrapposti

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

Sostituire indietro

2 x = u

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn : \frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

a < u < b

allora

a < u and u < b

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x and 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x : x > \frac{π}{3} + πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x

Scambia i lati

2 x > \frac{2 π}{3} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 x > \frac{2 π}{3} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= x

Semplificare

\frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{3} + πn

\frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{2 π}{3}}{2} = \frac{π}{3}

\frac{\frac{2 π}{3}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{2 π}{3 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{2 π}{6}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{π}{3}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{3} + πn

x > \frac{π}{3} + πn

x > \frac{π}{3} + πn

x > \frac{π}{3} + πn

2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn : x < \frac{2 π}{3} + πn

2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} < \frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} < \frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= x

Semplificare

\frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{2 π}{3} + πn

\frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{4 π}{3}}{2} = \frac{2 π}{3}

\frac{\frac{4 π}{3}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{4 π}{3 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{4 π}{6}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{2 π}{3}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{2 π}{3} + πn

x < \frac{2 π}{3} + πn

x < \frac{2 π}{3} + πn

x < \frac{2 π}{3} + πn

Combina gli intervalli

x > \frac{π}{3} + πn and x < \frac{2 π}{3} + πn

Unire gli intervalli sovrapposti

\frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

\frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

Esempi popolari

(sin(x))/(4cos^2(x)-1)<0

\frac{sin ( x )}{4 cos ^{2} ( x ) - 1} < 0

(arctan(x))>0

(arctan (x)) > 0

tan(θ)<0,sin(θ)>0

tan (θ) < 0, sin (θ) > 0

(2sin^2(x)-1)/(cos(x))<= 0

\frac{2 sin ^{2} ( x ) - 1}{cos ( x )} \leq 0

8sin^3(t)<0

8 sin^{3} (t) < 0