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Beliebt Trigonometrie >

csc(x)<=-2

Lösung

csc (x) \leq - 2

Lösung

π + 2 πn < x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn or \frac{11 π}{6} + 2 πn \leq x < 2 π + 2 πn

Intervall-Notation

(π + 2 πn, \frac{7 π}{6} + 2 πn] \cup [\frac{11 π}{6} + 2 πn, 2 π + 2 πn)

Dezimale

3.14159 \dots + 2 πn < x \leq 3.66519 \dots + 2 πn or 5.75958 \dots + 2 πn \leq x < 6.28318 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

csc (x) \leq - 2

Drücke mit sin, cos aus

csc (x) \leq - 2

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} \leq - 2

\frac{1}{sin ( x )} \leq - 2

Rewrite in standard form

\frac{1}{sin ( x )} \leq - 2

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

\frac{1}{sin ( x )} + 2 \leq - 2 + 2

Vereinfache

\frac{1}{sin ( x )} + 2 \leq 0

Vereinfache

\frac{1}{sin ( x )} + 2 : \frac{1 + 2 sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} + 2

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 = \frac{2 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} + \frac{2 sin ( x )}{sin ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + 2 sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{1 + 2 sin ( x )}{sin ( x )} \leq 0

\frac{1 + 2 sin ( x )}{sin ( x )} \leq 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

\frac{1 + 2 sin ( x )}{sin ( x )}

Finde die Vorzeichen von

1 + 2 sin (x)

1 + 2 sin (x) = 0 : sin (x) = - \frac{1}{2}

1 + 2 sin (x) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + 2 sin (x) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + 2 sin (x) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 sin (x) = - 1

2 sin (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( x )}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = - \frac{1}{2}

1 + 2 sin (x) < 0 : sin (x) < - \frac{1}{2}

1 + 2 sin (x) < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + 2 sin (x) < 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + 2 sin (x) - 1 < 0 - 1

Vereinfache

2 sin (x) < - 1

2 sin (x) < - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (x) < - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( x )}{2} < \frac{- 1}{2}

Vereinfache

sin (x) < - \frac{1}{2}

sin (x) < - \frac{1}{2}

1 + 2 sin (x) > 0 : sin (x) > - \frac{1}{2}

1 + 2 sin (x) > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + 2 sin (x) > 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + 2 sin (x) - 1 > 0 - 1

Vereinfache

2 sin (x) > - 1

2 sin (x) > - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (x) > - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( x )}{2} > \frac{- 1}{2}

Vereinfache

sin (x) > - \frac{1}{2}

sin (x) > - \frac{1}{2}

Finde die Vorzeichen von

sin (x)

sin (x) = 0

sin (x) < 0

sin (x) > 0

Finde Singularitätspunkte

Finde die Nullstellen des Nenners

sin (x) : sin (x) = 0

Fasse in einer Tabelle zusammen:

1 + 2 sin (x) sin (x) \frac{1 + 2 s i n ( x )}{s i n ( x )} sin (x) < - \frac{1}{2} - - + sin (x) = - \frac{1}{2} 0 - 0 - \frac{1}{2} < sin (x) < 0 + - - sin (x) = 0 + 0 Unbestimmt sin (x) > 0 + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\leq 0

sin (x) = - \frac{1}{2} or - \frac{1}{2} < sin (x) < 0

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

sin (x) = - \frac{1}{2} or - \frac{1}{2} < sin (x) < 0

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

sin (x) = - \frac{1}{2}

oder

- \frac{1}{2} < sin (x) < 0

- \frac{1}{2} \leq sin (x) < 0

- \frac{1}{2} \leq sin (x) < 0

- \frac{1}{2} \leq sin (x) < 0

Wenn

a \leq u < b

dann

a \leq u and u < b

- \frac{1}{2} \leq sin (x) and sin (x) < 0

- \frac{1}{2} \leq sin (x) : - \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn

- \frac{1}{2} \leq sin (x)

Tausche die Seiten

sin (x) \geq - \frac{1}{2}

Für

sin (x) \geq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Vereinfache

arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Verwende die folgende Eigenschaft:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

Vereinfache

π - arcsin (- \frac{1}{2}) : \frac{7 π}{6}

π - arcsin (- \frac{1}{2})

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Verwende die folgende Eigenschaft:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= π - (- \frac{π}{6})

Vereinfache

π - (- \frac{π}{6})

Wende Regel an

- (- a) = a

= π + \frac{π}{6}

Wandle das Element in einen Bruch um:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} + \frac{π}{6}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 + π}{6}

Addiere gleiche Elemente:

6 π + π = 7 π

= \frac{7 π}{6}

= \frac{7 π}{6}

- \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn

sin (x) < 0 : - π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) < 0

Für

sin (x) < a

, wenn

- 1 < a \leq 1

dann

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn < x < arcsin (0) + 2 πn

Vereinfache

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

Vereinfache

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn < x < 0 + 2 πn

Vereinfache

- π + 2 πn < x < 2 πn

Kombiniere die Bereiche

- \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn and - π + 2 πn < x < 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

π + 2 πn < x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn or \frac{11 π}{6} + 2 πn \leq x < 2 π + 2 πn

Beliebte Beispiele

sin(x)>(sin(x))/(cos(x)-2)

sin (x) > \frac{sin ( x )}{cos ( x ) - 2}

cot(x)<= sqrt(3)

cot (x) \leq 3

2cos(x)>= 1

2 cos (x) \geq 1

1/3 cos(3x-pi/3)< 1/6

\frac{1}{3} cos (3 x - \frac{π}{3}) < \frac{1}{6}

-cos(3x)<0

- cos (3 x) < 0