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Beliebt Trigonometrie >

tan(x)*(2tan(x))/(1-tan^2(x))>1

Lösung

tan (x) \cdot \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} > 1

Lösung

\frac{π}{6} + πn < x < \frac{π}{4} + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x < \frac{5 π}{6} + πn

Intervall-Notation

(\frac{π}{6} + πn, \frac{π}{4} + πn) \cup (\frac{3 π}{4} + πn, \frac{5 π}{6} + πn)

Dezimale

0.52359 \dots + πn < x < 0.78539 \dots + πn or 2.35619 \dots + πn < x < 2.61799 \dots + πn

Schritte zur Lösung

tan (x) \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} > 1

Angenommen:

u = tan (x)

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}} > 1

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}} > 1 : - 1 < u < - \frac{3}{3} or \frac{3}{3} < u < 1

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}} > 1

Rewrite in standard form

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}} > 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}} - 1 > 1 - 1

Vereinfache

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}} - 1 > 1 - 1

Vereinfache

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}} - 1 : \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} - 1

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}} - 1

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}} = \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}}

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 uu}{1 - u ^{2}}

2 uu = 2 u^{2}

2 uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 2 u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2 u^{2}

= \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}}

= \frac{2 u ^{2}}{- u ^{2} + 1} - 1

\frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} - 1 > 0

Vereinfache

\frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} - 1 : \frac{3 u ^{2} - 1}{1 - u ^{2}}

\frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} - 1

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 ( 1 - u ^{2} )}{1 - u ^{2}}

= \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} - \frac{1 \cdot ( 1 - u ^{2} )}{1 - u ^{2}}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 u ^{2} - 1 \cdot ( 1 - u ^{2} )}{1 - u ^{2}}

Multipliziere:

1 \cdot (1 - u^{2}) = (1 - u^{2})

= \frac{2 u ^{2} - ( - u ^{2} + 1 )}{1 - u ^{2}}

Multipliziere aus

2 u^{2} - (1 - u^{2}) : 3 u^{2} - 1

2 u^{2} - (1 - u^{2})

- (1 - u^{2}) : - 1 + u^{2}

- (1 - u^{2})

Setze Klammern

= - (1) - (- u^{2})

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + u^{2}

= 2 u^{2} - 1 + u^{2}

Vereinfache

2 u^{2} - 1 + u^{2} : 3 u^{2} - 1

2 u^{2} - 1 + u^{2}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 u^{2} + u^{2} - 1

Addiere gleiche Elemente:

2 u^{2} + u^{2} = 3 u^{2}

= 3 u^{2} - 1

= 3 u^{2} - 1

= \frac{3 u ^{2} - 1}{1 - u ^{2}}

\frac{3 u ^{2} - 1}{1 - u ^{2}} > 0

\frac{3 u ^{2} - 1}{1 - u ^{2}} > 0

Faktorisiere

\frac{3 u ^{2} - 1}{1 - u ^{2}} : \frac{( 3 u + 1 ) ( 3 u - 1 )}{- ( u + 1 ) ( u - 1 )}

\frac{3 u ^{2} - 1}{1 - u ^{2}}

Faktorisiere

- u^{2} + 1 : - (u + 1) (u - 1)

- u^{2} + 1

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (u^{2} - 1)

Faktorisiere

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= - (u + 1) (u - 1)

= \frac{3 u ^{2} - 1}{- ( u + 1 ) ( u - 1 )}

Faktorisiere

3 u^{2} - 1 : (3 u + 1) (3 u - 1)

3 u^{2} - 1

Schreibe

3 u^{2} - 1

um:

(3 u)^{2} - 1^{2}

3 u^{2} - 1

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= (3)^{2} u^{2} - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= (3)^{2} u^{2} - 1^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(3)^{2} u^{2} = (3 u)^{2}

= (3 u)^{2} - 1^{2}

= (3 u)^{2} - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(3 u)^{2} - 1^{2} = (3 u + 1) (3 u - 1)

= (3 u + 1) (3 u - 1)

= \frac{( 3 u + 1 ) ( 3 u - 1 )}{- ( u + 1 ) ( u - 1 )}

\frac{( 3 u + 1 ) ( 3 u - 1 )}{- ( u + 1 ) ( u - 1 )} > 0

Multipliziere beide Seiten mit

- 1

(drehe die Ungleichung um)

\frac{( 3 u + 1 ) ( 3 u - 1 ) ( - 1 )}{- ( u + 1 ) ( u - 1 )} < 0 \cdot (- 1)

Vereinfache

\frac{( 3 u + 1 ) ( 3 u - 1 )}{( u + 1 ) ( u - 1 )} < 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

\frac{( 3 u + 1 ) ( 3 u - 1 )}{( u + 1 ) ( u - 1 )}

Finde die Vorzeichen von

3 u + 1

3 u + 1 = 0 : u = - \frac{3}{3}

3 u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

3 u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

3 u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

3 u = - 1

3 u = - 1

Teile beide Seiten durch

3

3 u = - 1

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}

Vereinfache

\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}

Vereinfache

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= u

Vereinfache

\frac{- 1}{3} : - \frac{3}{3}

\frac{- 1}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{3}

Rationalisiere

- \frac{1}{3} : - \frac{3}{3}

- \frac{1}{3}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{3}{3}

= - \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Wende Radikal Regel an:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{3}{3}

= - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

3 u + 1 < 0 : u < - \frac{3}{3}

3 u + 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

3 u + 1 < 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

3 u + 1 - 1 < 0 - 1

Vereinfache

3 u < - 1

3 u < - 1

Teile beide Seiten durch

3

3 u < - 1

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 u}{3} < \frac{- 1}{3}

Vereinfache

\frac{3 u}{3} < \frac{- 1}{3}

Vereinfache

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= u

Vereinfache

\frac{- 1}{3} : - \frac{3}{3}

\frac{- 1}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{3}

Rationalisiere

- \frac{1}{3} : - \frac{3}{3}

- \frac{1}{3}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{3}{3}

= - \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Wende Radikal Regel an:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{3}{3}

= - \frac{3}{3}

u < - \frac{3}{3}

u < - \frac{3}{3}

u < - \frac{3}{3}

3 u + 1 > 0 : u > - \frac{3}{3}

3 u + 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

3 u + 1 > 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

3 u + 1 - 1 > 0 - 1

Vereinfache

3 u > - 1

3 u > - 1

Teile beide Seiten durch

3

3 u > - 1

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 u}{3} > \frac{- 1}{3}

Vereinfache

\frac{3 u}{3} > \frac{- 1}{3}

Vereinfache

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= u

Vereinfache

\frac{- 1}{3} : - \frac{3}{3}

\frac{- 1}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{3}

Rationalisiere

- \frac{1}{3} : - \frac{3}{3}

- \frac{1}{3}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{3}{3}

= - \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Wende Radikal Regel an:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{3}{3}

= - \frac{3}{3}

u > - \frac{3}{3}

u > - \frac{3}{3}

u > - \frac{3}{3}

Finde die Vorzeichen von

3 u - 1

3 u - 1 = 0 : u = \frac{3}{3}

3 u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

3 u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

3 u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

3 u = 1

3 u = 1

Teile beide Seiten durch

3

3 u = 1

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

Vereinfache

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

Vereinfache

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= u

Vereinfache

\frac{1}{3} : \frac{3}{3}

\frac{1}{3}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{3}{3}

= \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Wende Radikal Regel an:

a a = a

33 = 3

= 3

= \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

3 u - 1 < 0 : u < \frac{3}{3}

3 u - 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

3 u - 1 < 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

3 u - 1 + 1 < 0 + 1

Vereinfache

3 u < 1

3 u < 1

Teile beide Seiten durch

3

3 u < 1

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 u}{3} < \frac{1}{3}

Vereinfache

\frac{3 u}{3} < \frac{1}{3}

Vereinfache

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= u

Vereinfache

\frac{1}{3} : \frac{3}{3}

\frac{1}{3}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{3}{3}

= \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Wende Radikal Regel an:

a a = a

33 = 3

= 3

= \frac{3}{3}

u < \frac{3}{3}

u < \frac{3}{3}

u < \frac{3}{3}

3 u - 1 > 0 : u > \frac{3}{3}

3 u - 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

3 u - 1 > 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

3 u - 1 + 1 > 0 + 1

Vereinfache

3 u > 1

3 u > 1

Teile beide Seiten durch

3

3 u > 1

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 u}{3} > \frac{1}{3}

Vereinfache

\frac{3 u}{3} > \frac{1}{3}

Vereinfache

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= u

Vereinfache

\frac{1}{3} : \frac{3}{3}

\frac{1}{3}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{3}{3}

= \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Wende Radikal Regel an:

a a = a

33 = 3

= 3

= \frac{3}{3}

u > \frac{3}{3}

u > \frac{3}{3}

u > \frac{3}{3}

Finde die Vorzeichen von

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 < 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 < 0 - 1

Vereinfache

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 > 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 > 0 - 1

Vereinfache

u > - 1

u > - 1

Finde die Vorzeichen von

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 < 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 < 0 + 1

Vereinfache

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 > 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 > 0 + 1

Vereinfache

u > 1

u > 1

Finde Singularitätspunkte

Finde die Nullstellen des Nenners

(u + 1) (u - 1) : u = - 1, u = 1

(u + 1) (u - 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u + 1 = 0 or u - 1 = 0

Löse

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

Löse

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1, u = 1

Fasse in einer Tabelle zusammen:

3 u + 1 3 u - 1 u + 1 u - 1 \frac{( 3 u + 1 ) ( 3 u - 1 )}{( u + 1 ) ( u - 1 )} u < - 1 - - - - + u = - 1 - - 0 - Unbestimmt - 1 < u < - \frac{3}{3} - - + - - u = - \frac{3}{3} 0 - + - 0 - \frac{3}{3} < u < \frac{3}{3} + - + - + u = \frac{3}{3} + 0 + - 0 \frac{3}{3} < u < 1 + + + - - u = 1 + + + 0 Unbestimmt u > 1 + + + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

< 0

- 1 < u < - \frac{3}{3} or \frac{3}{3} < u < 1

- 1 < u < - \frac{3}{3} or \frac{3}{3} < u < 1

- 1 < u < - \frac{3}{3} or \frac{3}{3} < u < 1

Setze in

u = tan (x)

ein

- 1 < tan (x) < - \frac{3}{3} or \frac{3}{3} < tan (x) < 1

- 1 < tan (x) < - \frac{3}{3} : \frac{3 π}{4} + πn < x < \frac{5 π}{6} + πn

- 1 < tan (x) < - \frac{3}{3}

Wenn

a < u < b

dann

a < u and u < b

- 1 < tan (x) and tan (x) < - \frac{3}{3}

- 1 < tan (x) : - \frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

- 1 < tan (x)

Tausche die Seiten

tan (x) > - 1

Wenn

tan (x) > a

dann

arctan (a) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

arctan (- 1) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

Vereinfache

arctan (- 1) : - \frac{π}{4}

arctan (- 1)

Verwende die folgende Eigenschaft:

arctan (- x) = - arctan (x)

arctan (- 1) = - arctan (1)

= - arctan (1)

Verwende die folgende triviale Identität:

arctan (1) = \frac{π}{4}

arctan (1)

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4}

- \frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

tan (x) < - \frac{3}{3} : - \frac{π}{2} + πn < x < - \frac{π}{6} + πn

tan (x) < - \frac{3}{3}

Wenn

tan (x) < a

dann

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (a) + πn

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (- \frac{3}{3}) + πn

Vereinfache

arctan (- \frac{3}{3}) : - \frac{π}{6}

arctan (- \frac{3}{3})

Verwende die folgende Eigenschaft:

arctan (- x) = - arctan (x)

arctan (- \frac{3}{3}) = - arctan (\frac{3}{3})

= - arctan (\frac{3}{3})

Verwende die folgende triviale Identität:

arctan (\frac{3}{3}) = \frac{π}{6}

arctan (\frac{3}{3})

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

- \frac{π}{2} + πn < x < - \frac{π}{6} + πn

Kombiniere die Bereiche

- \frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn and - \frac{π}{2} + πn < x < - \frac{π}{6} + πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{3 π}{4} + πn < x < \frac{5 π}{6} + πn

\frac{3}{3} < tan (x) < 1 : \frac{π}{6} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

\frac{3}{3} < tan (x) < 1

Wenn

a < u < b

dann

a < u and u < b

\frac{3}{3} < tan (x) and tan (x) < 1

\frac{3}{3} < tan (x) : \frac{π}{6} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

\frac{3}{3} < tan (x)

Tausche die Seiten

tan (x) > \frac{3}{3}

Wenn

tan (x) > a

dann

arctan (a) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

arctan (\frac{3}{3}) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

Vereinfache

arctan (\frac{3}{3}) : \frac{π}{6}

arctan (\frac{3}{3})

Verwende die folgende triviale Identität:

arctan (\frac{3}{3}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

\frac{π}{6} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

tan (x) < 1 : - \frac{π}{2} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

tan (x) < 1

Wenn

tan (x) < a

dann

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (a) + πn

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (1) + πn

Vereinfache

arctan (1) : \frac{π}{4}

arctan (1)

Verwende die folgende triviale Identität:

arctan (1) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

- \frac{π}{2} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

Kombiniere die Bereiche

\frac{π}{6} + πn < x < \frac{π}{2} + πn and - \frac{π}{2} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{6} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

Kombiniere die Bereiche

\frac{3 π}{4} + πn < x < \frac{5 π}{6} + πn or \frac{π}{6} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{6} + πn < x < \frac{π}{4} + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x < \frac{5 π}{6} + πn

Beliebte Beispiele

6cos(2x-60)<= 0

6 cos (2 x - 60) \leq 0

tan(θ)>1

tan (θ) > 1

2sin(x/2)>1

2 sin (\frac{x}{2}) > 1

8-9sin(x)cos(x)>20

8 - 9 sin (x) cos (x) > 20

cos^2(x)-2cos(x)+1<= 0

cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 1 \leq 0