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Popolare Trigonometria >

2sin^2(x)+cos(x)-1>= 0

Soluzione

2 sin^{2} (x) + cos (x) - 1 \geq 0

Soluzione

- \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{2 π}{3} + 2 πn

Notazione dell’intervallo

[- \frac{2 π}{3} + 2 πn, \frac{2 π}{3} + 2 πn]

Decimale

- 2.09439 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.09439 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

2 sin^{2} (x) + cos (x) - 1 \geq 0

Usare l'identità seguente:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Quindi

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

2 (1 - cos^{2} (x)) + cos (x) - 1 \geq 0

Semplifica

2 (1 - cos^{2} (x)) + cos (x) - 1 : cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 1

2 (1 - cos^{2} (x)) + cos (x) - 1

Espandi

2 (1 - cos^{2} (x)) : 2 - 2 cos^{2} (x)

2 (1 - cos^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 2 \cdot 1 - 2 cos^{2} (x)

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 cos^{2} (x)

= 2 - 2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1

Semplifica

2 - 2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1 : cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 1

2 - 2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1

Raggruppa termini simili

= - 2 cos^{2} (x) + cos (x) + 2 - 1

Aggiungi/Sottrai i numeri:

2 - 1 = 1

= cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 1

= cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 1

cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 1 \geq 0

Sia:

u = cos (x)

u - 2 u^{2} + 1 \geq 0

u - 2 u^{2} + 1 \geq 0 : - \frac{1}{2} \leq u \leq 1

u - 2 u^{2} + 1 \geq 0

Fattorizza

u - 2 u^{2} + 1 : - (2 u + 1) (u - 1)

u - 2 u^{2} + 1

Fattorizzare dal termine comune

- 1

= - (2 u^{2} - u - 1)

Fattorizza

2 u^{2} - u - 1 : (2 u + 1) (u - 1)

2 u^{2} - u - 1

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c

= 2 u^{2} - u - 1

Suddividere l'espressione in gruppi

2 u^{2} - u - 1

Definizione

Fattori di

2 : 1, 2

2

Divisori (Fattori)

Trova i fattori primi di

2 : 2

2

2

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 2

Aggiungi 1

1

I fattori di

2

1, 2

Fattori negativi di

2 : - 1, - 2

Moltiplica i fattori per

- 1

per ottenere i fattori negativi

- 1, - 2

Per ogni due fattori tali che

u * v = - 2,

controllare se

u + v = - 1

Verifica

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

VeroVerifica

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Falso

u = 1, v = - 2

Raggruppa in

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

= (2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

Fattorizza

u

2 u^{2} + u : u (2 u + 1)

2 u^{2} + u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + u

Fattorizzare dal termine comune

u

= u (2 u + 1)

Fattorizza

- 1

- 2 u - 1 : - (2 u + 1)

- 2 u - 1

Fattorizzare dal termine comune

- 1

= - (2 u + 1)

= u (2 u + 1) - (2 u + 1)

Fattorizzare dal termine comune

2 u + 1

= (2 u + 1) (u - 1)

= - (2 u + 1) (u - 1)

- (2 u + 1) (u - 1) \geq 0

Moltiplicare entrambi i lati per

- 1

(invertire l'ineguaglianza)

(- (2 u + 1) (u - 1)) (- 1) \leq 0 \cdot (- 1)

Semplificare

(2 u + 1) (u - 1) \leq 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

(2 u + 1) (u - 1)

Trova i segni di

2 u + 1

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

2 u = - 1

2 u = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Semplificare

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u + 1 < 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

Semplificare

2 u < - 1

2 u < - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u < - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

Semplificare

u < - \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u + 1 > 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

Semplificare

2 u > - 1

2 u > - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u > - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

Semplificare

u > - \frac{1}{2}

u > - \frac{1}{2}

Trova i segni di

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 < 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 < 0 + 1

Semplificare

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 > 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 > 0 + 1

Semplificare

u > 1

u > 1

Riassumere in una tabella:

2 u + 1 u - 1 (2 u + 1) (u - 1) u < - \frac{1}{2} - - + u = - \frac{1}{2} 0 - 0 - \frac{1}{2} < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

\leq 0

u = - \frac{1}{2} or - \frac{1}{2} < u < 1 or u = 1

Unire gli intervalli sovrapposti

- \frac{1}{2} \leq u < 1 or u = 1

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{2} < u < 1

- \frac{1}{2} \leq u < 1

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

- \frac{1}{2} \leq u < 1

u = 1

- \frac{1}{2} \leq u \leq 1

- \frac{1}{2} \leq u \leq 1

- \frac{1}{2} \leq u \leq 1

- \frac{1}{2} \leq u \leq 1

Sostituire indietro

u = cos (x)

- \frac{1}{2} \leq cos (x) \leq 1

a \leq u \leq b

allora

a \leq u and u \leq b

- \frac{1}{2} \leq cos (x) and cos (x) \leq 1

- \frac{1}{2} \leq cos (x) : - \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{2 π}{3} + 2 πn

- \frac{1}{2} \leq cos (x)

Scambia i lati

cos (x) \geq - \frac{1}{2}

Per

cos (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

allora

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Semplificare

- arccos (- \frac{1}{2}) : - \frac{2 π}{3}

- arccos (- \frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{2 π}{3}

Semplificare

arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{2 π}{3}

arccos (- \frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{2 π}{3}

- \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{2 π}{3} + 2 πn

cos (x) \leq 1 :

Vero per tutti

x \in R

cos (x) \leq 1

Intervallo di

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definizione dell'intervallo di valori della funzione

L'intervallo della funzione di base

cos

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \leq 1 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Lasciare

y = cos (x)

Combina gli intervalli

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

Unire gli intervalli sovrapposti

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Vero per tutte x

Vero per tutti x \in R

Combina gli intervalli

- \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{2 π}{3} + 2 πn and Vero per tutti x \in R

Unire gli intervalli sovrapposti

- \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{2 π}{3} + 2 πn

Esempi popolari

(2sin(x)-1)/(3cos(x))<= 0

\frac{2 sin ( x ) - 1}{3 cos ( x )} \leq 0

sin(2x)-1/2 <0

sin (2 x) - \frac{1}{2} < 0

cos^2(x)> 1/4 ,0<= x<= 2pi

cos^{2} (x) > \frac{1}{4}, 0 \leq x \leq 2 π

sin((x*pi}{(\frac{1+sqrt(5))/2)^2})>0

sin \frac{x \cdot π}{( \frac{1 + 5}{2} ) ^{2}} > 0

2sin(x)-sqrt(3)<= 0

2 sin (x) - 3 \leq 0