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Beliebt Trigonometrie >

4sin^2(x)+3tan(x)>sec^2(x)

Lösung

4 sin^{2} (x) + 3 tan (x) > sec^{2} (x)

Lösung

\frac{π}{12} + πn < x < \frac{5 π}{12} + πn

Intervall-Notation

(\frac{π}{12} + πn, \frac{5 π}{12} + πn)

Dezimale

0.26179 \dots + πn < x < 1.30899 \dots + πn

Schritte zur Lösung

4 sin^{2} (x) + 3 tan (x) > sec^{2} (x)

Verschiebe

sec^{2} (x)

auf die linke Seite

4 sin^{2} (x) + 3 tan (x) > sec^{2} (x)

Subtrahiere

sec^{2} (x)

von beiden Seiten

4 sin^{2} (x) + 3 tan (x) - sec^{2} (x) > sec^{2} (x) - sec^{2} (x)

4 sin^{2} (x) + 3 tan (x) - sec^{2} (x) > 0

4 sin^{2} (x) + 3 tan (x) - sec^{2} (x) > 0

Verwende die folgenden Identitäten:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Deshalb

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 tan (x) - sec^{2} (x) > 0

Periodizität von

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 tan (x) - sec^{2} (x) : π

Die zusammengesetzte Periodizität der Summe der periodischen Funktionen ist der kleinste gemeinsame Multiplikator der Perioden

4 (1 - cos^{2} (x)), 3 tan (x), sec^{2} (x)

Periodizität von

4 (1 - cos^{2} (x)) : π

Periodizität von

cos^{n} (x) = \frac{Periodizit a ¨ t von cos ( x )}{2},

wenn n gerade ist

Periodizität von

cos (x) : 2 π

Die Periodizität von

cos (x)

ist

2 π

= 2 π

\frac{2 π}{2}

Vereinfache

π

Periodizität von

3 tan (x) : π

Periodizität von

a \cdot tan (b x + c) + d = \frac{Periodizit a ¨ t von tan ( x )}{∣ b ∣}

Die Periodizität von

tan (x)

ist

π

= \frac{π}{∣ 1 ∣}

Vereinfache

= π

Periodizität von

sec^{2} (x) : π

Periodizität von

sec^{n} (x) = \frac{Periodizit a ¨ t von sec ( x )}{2},

wenn n gerade ist

Periodizität von

sec (x) : 2 π

Die Periodizität von

sec (x)

ist

2 π

= 2 π

\frac{2 π}{2}

Vereinfache

π

Kombiniere Perioden:

π, π, π

= π

Drücke mit sin, cos aus

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 tan (x) - sec^{2} (x) > 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - sec^{2} (x) > 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - (\frac{1}{cos ( x )})^{2} > 0

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - (\frac{1}{cos ( x )})^{2} > 0

Vereinfache

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - (\frac{1}{cos ( x )})^{2} : \frac{4 cos ^{2} ( x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) + 3 sin ( x ) cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - (\frac{1}{cos ( x )})^{2}

3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{3 sin ( x )}{cos ( x )}

3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= 4 (- cos^{2} (x) + 1) + \frac{3 sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

4 (- cos^{2} (x) + 1) = \frac{4 ( - cos ^{2} ( x ) + 1 )}{1}

= \frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) )}{1} + \frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

1, cos (x), cos^{2} (x) : cos^{2} (x)

1, cos (x), cos^{2} (x)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die in mindestens einem der faktoriserten Ausdrücke vorkommt.

= cos^{2} (x)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

cos^{2} (x)

Für

\frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) )}{1} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos^{2} (x)

\frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) )}{1} = \frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x )}{1 \cdot cos ^{2} ( x )} = \frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Für

\frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos (x)

\frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) \cdot 3 cos ( x )}{cos ( x ) cos ( x )} = \frac{sin ( x ) \cdot 3 cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ( x ) \cdot 3 cos ( x )}{cos ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x ) + sin ( x ) \cdot 3 cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

\frac{4 cos ^{2} ( x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) + 3 sin ( x ) cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )} > 0

Finde die Nullstellen und undefinierten Punkte von

\frac{4 cos ^{2} ( x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) + 3 sin ( x ) cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

für

0 \leq x < π

Um die Nullstellen zu finden, setze die Ungleichung auf Null

\frac{4 cos ^{2} ( x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) + 3 sin ( x ) cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )} = 0

\frac{4 cos ^{2} ( x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) + 3 sin ( x ) cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )} = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{12}, x = \frac{5 π}{12}

\frac{4 cos ^{2} ( x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) + 3 sin ( x ) cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )} = 0, 0 \leq x < π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 cos^{2} (x) (1 - cos^{2} (x)) + 3 sin (x) cos (x) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + (1 - cos^{2} (x)) \cdot 4 cos^{2} (x) + 3 cos (x) sin (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= - 1 + 3 cos (x) sin (x) + 4 cos^{2} (x) sin^{2} (x)

- 1 + 3 cos (x) sin (x) + 4 cos^{2} (x) sin^{2} (x) = 0

Faktorisiere

- 1 + 3 cos (x) sin (x) + 4 cos^{2} (x) sin^{2} (x) : (4 sin (x) cos (x) - 1) (sin (x) cos (x) + 1)

- 1 + 3 cos (x) sin (x) + 4 cos^{2} (x) sin^{2} (x)

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

4 sin^{2} (x) cos^{2} (x) + 3 sin (x) cos (x) - 1

Definition

Faktoren von

4 : 1, 2, 4

4

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

4 : 2, 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2

Addiere alle Primfaktoren.

2

Addiere 1 und die Zahl

4

selbst

1, 4

Die Faktoren von

4

1, 2, 4

Negative Faktoren von

4 : - 1, - 2, - 4

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 2, - 4

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = - 4,

prüfe, ob

u + v = 3

Prüfe

u = 1, v = - 4 : u * v = - 4, u + v = - 3 \Rightarrow

FalschPrüfe

u = 2, v = - 2 : u * v = - 4, u + v = 0 \Rightarrow

Falsch

u = 4, v = - 1

Gruppiere

(a x^{2} y^{2} + ux y) + (vx y + c)

(4 sin^{2} (x) cos^{2} (x) - sin (x) cos (x)) + (4 sin (x) cos (x) - 1)

= (4 sin^{2} (x) cos^{2} (x) - sin (x) cos (x)) + (4 sin (x) cos (x) - 1)

Klammere

sin (x) cos (x)

aus

4 sin^{2} (x) cos^{2} (x) - sin (x) cos (x)

aus

: sin (x) cos (x) (4 sin (x) cos (x) - 1)

4 sin^{2} (x) cos^{2} (x) - sin (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (x) cos^{2} (x) = sin (x) sin (x) cos (x) cos (x)

= 4 sin (x) sin (x) cos (x) cos (x) - sin (x) cos (x)

Klammere gleiche Terme aus

sin (x) cos (x)

= sin (x) cos (x) (4 sin (x) cos (x) - 1)

= sin (x) cos (x) (4 sin (x) cos (x) - 1) + (4 sin (x) cos (x) - 1)

Klammere gleiche Terme aus

4 sin (x) cos (x) - 1

= (4 sin (x) cos (x) - 1) (sin (x) cos (x) + 1)

(4 sin (x) cos (x) - 1) (sin (x) cos (x) + 1) = 0

Löse jeden Teil einzeln

4 sin (x) cos (x) - 1 = 0 or sin (x) cos (x) + 1 = 0

4 sin (x) cos (x) - 1 = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{12}, x = \frac{5 π}{12}

4 sin (x) cos (x) - 1 = 0, 0 \leq x < π

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

4 sin (x) cos (x) - 1

Verwende die Doppelwinkelidentität:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= - 1 + 4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2}

- 1 + 4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2} = 0

4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2} = 2 sin (2 x)

4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( 2 x ) \cdot 4}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{2} = 2

= 2 sin (2 x)

- 1 + 2 sin (2 x) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

- 1 + 2 sin (2 x) = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

- 1 + 2 sin (2 x) + 1 = 0 + 1

Vereinfache

2 sin (2 x) = 1

2 sin (2 x) = 1

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (2 x) = 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( 2 x )}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

sin (2 x) = \frac{1}{2}

sin (2 x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (2 x) = \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn, 2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn, 2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Löse

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn : x = \frac{π}{12} + πn

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

\frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{12} + πn

\frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{6}}{2} = \frac{π}{12}

\frac{\frac{π}{6}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn

Löse

2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn : x = \frac{5 π}{12} + πn

2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{5 π}{12} + πn

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} = \frac{5 π}{12}

\frac{\frac{5 π}{6}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 π}{6 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{5 π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn, x = \frac{5 π}{12} + πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < π

x = \frac{π}{12}, x = \frac{5 π}{12}

sin (x) cos (x) + 1 = 0, 0 \leq x < π :

Keine Lösung

sin (x) cos (x) + 1 = 0, 0 \leq x < π

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (x) cos (x) + 1

Verwende die Doppelwinkelidentität:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= 1 + \frac{sin ( 2 x )}{2}

1 + \frac{sin ( 2 x )}{2} = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + \frac{sin ( 2 x )}{2} = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + \frac{sin ( 2 x )}{2} - 1 = 0 - 1

Vereinfache

\frac{sin ( 2 x )}{2} = - 1

\frac{sin ( 2 x )}{2} = - 1

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{sin ( 2 x )}{2} = - 1

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 sin ( 2 x )}{2} = 2 (- 1)

Vereinfache

sin (2 x) = - 2

sin (2 x) = - 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{12}, x = \frac{5 π}{12}

Finde die unbestimmten Punkte:

x = \frac{π}{2}

Finde die Nullstellen des Nenners

cos^{2} (x) = 0

Wende Regel an

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

cos (x) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < π

x = \frac{π}{2}

\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}, \frac{π}{2}

Identifiziere die Intervalle

0 < x < \frac{π}{12}, \frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}, \frac{5 π}{12} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < π

Fasse in einer Tabelle zusammen:

4 cos^{2} (x) (1 - cos^{2} (x)) + 3 sin (x) cos (x) - 1 cos^{2} (x) \frac{4 c o s ^{2} ( x ) ( 1 - c o s ^{2} ( x ) ) + 3 s i n ( x ) c o s ( x ) - 1}{c o s ^{2} ( x )} x = 0 - + - 0 < x < \frac{π}{12} - + - x = \frac{π}{12} 0 + 0 \frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12} + + + x = \frac{5 π}{12} 0 + 0 \frac{5 π}{12} < x < \frac{π}{2} - + - x = \frac{π}{2} - 0 Unbestimmt \frac{π}{2} < x < π - + - x = π - + -

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

> 0

\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}

Verwende die Periodizität von

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 tan (x) - sec^{2} (x)

\frac{π}{12} + πn < x < \frac{5 π}{12} + πn

Beliebte Beispiele

sin(4x+17)>0

sin (4 x + 1 7^{\circ}) > 0

3sin((pix)/(12)-pi/2)<=-2

3 sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{2}) \leq - 2

-sin(x)(2+sin(x))-cos^2(x)>0

- sin (x) (2 + sin (x)) - cos^{2} (x) > 0

1/(sqrt(3))<tan(x)

\frac{1}{3} < tan (x)

6cos(θ)>= 0

6 cos (θ) \geq 0