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受欢迎的三角函数 >

证明 2sin^2(x/2)+4cos^2(x/2)-3=cos(x)

解答

证明

2 sin^{2} (\frac{x}{2}) + 4 cos^{2} (\frac{x}{2}) - 3 = cos (x)

解答

真

求解步骤

2 sin^{2} (\frac{x}{2}) + 4 cos^{2} (\frac{x}{2}) - 3 = cos (x)

令

: u = \frac{x}{2}

2 sin^{2} (u) + 4 cos^{2} (u) - 3 = cos (2 u)

证明

2 sin^{2} (u) + 4 cos^{2} (u) - 3 = cos (2 u) :

真

2 sin^{2} (u) + 4 cos^{2} (u) - 3 = cos (2 u)

调整左侧

2 sin^{2} (u) + 4 cos^{2} (u) - 3

使用三角恒等式改写

2 sin^{2} (u) + 4 cos^{2} (u) - 3

使用毕达哥拉斯恒等式:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 2 sin^{2} (u) + 4 (1 - sin^{2} (u)) - 3

化简

2 sin^{2} (u) + 4 (1 - sin^{2} (u)) - 3 : - 2 sin^{2} (u) + 1

2 sin^{2} (u) + 4 (1 - sin^{2} (u)) - 3

乘开

4 (1 - sin^{2} (u)) : 4 - 4 sin^{2} (u)

4 (1 - sin^{2} (u))

使用分配律:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = sin^{2} (u)

= 4 \cdot 1 - 4 sin^{2} (u)

数字相乘:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 sin^{2} (u)

= 2 sin^{2} (u) + 4 - 4 sin^{2} (u) - 3

化简

2 sin^{2} (u) + 4 - 4 sin^{2} (u) - 3 : - 2 sin^{2} (u) + 1

2 sin^{2} (u) + 4 - 4 sin^{2} (u) - 3

对同类项分组

= 2 sin^{2} (u) - 4 sin^{2} (u) + 4 - 3

同类项相加:

2 sin^{2} (u) - 4 sin^{2} (u) = - 2 sin^{2} (u)

= - 2 sin^{2} (u) + 4 - 3

数字相加/相减:

4 - 3 = 1

= - 2 sin^{2} (u) + 1

= - 2 sin^{2} (u) + 1

= - 2 sin^{2} (u) + 1

使用倍角公式:

1 - 2 sin^{2} (x) = cos (2 x)

= cos (2 u)

= cos (2 u)

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

因此

2 sin^{2} (\frac{x}{2}) + 4 cos^{2} (\frac{x}{2}) - 3 = cos (x)

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 tan(2u)=((2tan(u)))/(1-tan^2(u))

p ro v e tan (2 u) = \frac{( 2 tan ( u ) )}{1 - tan ^{2} ( u )}

证明 1/(-sin(x))=sec(x)tan(x)

p ro v e \frac{1}{- sin ( x )} = sec (x) tan (x)

证明 6cos(θ)=6cos(-θ)

p ro v e 6 cos (θ) = 6 cos (- θ)

证明 ((tan(2x)+cot(2x)))/(csc(2x))=sec(2x)

p ro v e \frac{( tan ( 2 x ) + cot ( 2 x ) )}{csc ( 2 x )} = sec (2 x)

证明 (cos(θ)-sin(θ))^2=1

p ro v e (cos (θ) - sin (θ))^{2} = 1