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1+sin(θ)=2cos^2(θ)

Solução

1 + sin (θ) = 2 cos^{2} (θ)

Solução

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Graus

θ = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

1 + sin (θ) = 2 cos^{2} (θ)

Subtrair

2 cos^{2} (θ)

de ambos os lados

1 + sin (θ) - 2 cos^{2} (θ) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

1 + sin (θ) - 2 cos^{2} (θ)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 + sin (θ) - 2 (1 - sin^{2} (θ))

Simplificar

1 + sin (θ) - 2 (1 - sin^{2} (θ)) : 2 sin^{2} (θ) + sin (θ) - 1

1 + sin (θ) - 2 (1 - sin^{2} (θ))

Expandir

- 2 (1 - sin^{2} (θ)) : - 2 + 2 sin^{2} (θ)

- 2 (1 - sin^{2} (θ))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= - 2 \cdot 1 - (- 2) sin^{2} (θ)

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 + 2 sin^{2} (θ)

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= - 2 + 2 sin^{2} (θ)

= 1 + sin (θ) - 2 + 2 sin^{2} (θ)

Simplificar

1 + sin (θ) - 2 + 2 sin^{2} (θ) : 2 sin^{2} (θ) + sin (θ) - 1

1 + sin (θ) - 2 + 2 sin^{2} (θ)

Agrupar termos semelhantes

= sin (θ) + 2 sin^{2} (θ) + 1 - 2

Somar/subtrair:

1 - 2 = - 1

= 2 sin^{2} (θ) + sin (θ) - 1

= 2 sin^{2} (θ) + sin (θ) - 1

= 2 sin^{2} (θ) + sin (θ) - 1

- 1 + sin (θ) + 2 sin^{2} (θ) = 0

Usando o método de substituição

- 1 + sin (θ) + 2 sin^{2} (θ) = 0

Sea:

sin (θ) = u

- 1 + u + 2 u^{2} = 0

- 1 + u + 2 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - 1

- 1 + u + 2 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} + u - 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

2 u^{2} + u - 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 2, b = 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

1^{2} - 4 \cdot 2 (- 1) = 3

1^{2} - 4 \cdot 2 (- 1)

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 2 (- 1)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 1 + 8

Somar:

1 + 8 = 9

= 9

Fatorar o número:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3}{2 \cdot 2}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 1 + 3}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 1 - 3}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 1 + 3}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2}

\frac{- 1 + 3}{2 \cdot 2}

Somar/subtrair:

- 1 + 3 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 1 - 3}{2 \cdot 2} : - 1

\frac{- 1 - 3}{2 \cdot 2}

Subtrair:

- 1 - 3 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{4}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= - 1

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = \frac{1}{2}, u = - 1

Substituir na equação

u = sin (θ)

sin (θ) = \frac{1}{2}, sin (θ) = - 1

sin (θ) = \frac{1}{2}, sin (θ) = - 1

sin (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{2}

Soluções gerais para

sin (θ) = \frac{1}{2}

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = - 1 : θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (θ) = - 1

Soluções gerais para

sin (θ) = - 1

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combinar toda as soluções

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Exemplos populares

arccsc(-sqrt(2))

arccsc (- 2)

sin(2x)=0

sin (2 x) = 0

sin(x)-2sin(x)cos(x)=0

sin (x) - 2 sin (x) cos (x) = 0

arcsec(-2)

arcsec (- 2)

sin(pi/5)

sin (\frac{π}{5})