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beweisen (7sec(θ)-7)/(1-cos(θ))=7sec(θ)

Lösung

beweisen

\frac{7 sec ( θ ) - 7}{1 - cos ( θ )} = 7 sec (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{7 sec ( θ ) - 7}{1 - cos ( θ )} = 7 sec (θ)

Manipuliere die linke Seite

\frac{7 sec ( θ ) - 7}{1 - cos ( θ )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{- 7 + 7 sec ( θ )}{1 - cos ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{- 7 + 7 \cdot \frac{1}{c o s ( θ )}}{1 - cos ( θ )}

Vereinfache

\frac{- 7 + 7 \cdot \frac{1}{c o s ( θ )}}{1 - cos ( θ )} : \frac{7}{cos ( θ )}

\frac{- 7 + 7 \cdot \frac{1}{c o s ( θ )}}{1 - cos ( θ )}

7 \cdot \frac{1}{cos ( θ )} = \frac{7}{cos ( θ )}

7 \cdot \frac{1}{cos ( θ )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 7}{cos ( θ )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 7 = 7

= \frac{7}{cos ( θ )}

= \frac{- 7 + \frac{7}{c o s ( θ )}}{1 - cos ( θ )}

Füge

- 7 + \frac{7}{cos ( θ )}

zusammen:

\frac{- 7 cos ( θ ) + 7}{cos ( θ )}

- 7 + \frac{7}{cos ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

7 = \frac{7 cos ( θ )}{cos ( θ )}

= - \frac{7 cos ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{7}{cos ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 7 cos ( θ ) + 7}{cos ( θ )}

= \frac{\frac{- 7 c o s ( θ ) + 7}{c o s ( θ )}}{1 - cos ( θ )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{- 7 cos ( θ ) + 7}{cos ( θ ) ( 1 - cos ( θ ) )}

Faktorisiere

- 7 cos (θ) + 7 : 7 (- cos (θ) + 1)

- 7 cos (θ) + 7

Schreibe um

= - 7 cos (θ) + 7 \cdot 1

Klammere gleiche Terme aus

7

= 7 (- cos (θ) + 1)

= \frac{7 ( - cos ( θ ) + 1 )}{cos ( θ ) ( 1 - cos ( θ ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

- cos (θ) + 1

= \frac{7}{cos ( θ )}

= \frac{7}{cos ( θ )}

= \frac{7}{cos ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{7}{\frac{1}{s e c ( θ )}}

Vereinfache

\frac{7}{\frac{1}{s e c ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{7 sec ( θ )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= 7 sec (θ)

7 sec (θ)

7 sec (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} = tan (2 θ)

p ro v e \frac{1 + tan ( x )}{1 - tan ( x )} = tan (x + \frac{π}{4})

p ro v e 4 sin (x) cos (x) = 2 sin (2 x)

p ro v e cos^{2} (2 x) = \frac{1}{2} (1 + cos (4 x))

p ro v e \frac{csc ^{2} ( x ) - 1}{cot ( x )} = \frac{1}{tan ( x )}