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beweisen (sin(2θ))/(sin(4θ))= 1/2 sec(2θ)

Lösung

beweisen

\frac{sin ( 2 θ )}{sin ( 4 θ )} = \frac{1}{2} sec (2 θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sin ( 2 θ )}{sin ( 4 θ )} = \frac{1}{2} sec (2 θ)

Manipuliere die linke Seite

\frac{sin ( 2 θ )}{sin ( 4 θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ( 2 θ )}{sin ( 4 θ )}

= \frac{sin ( 2 θ )}{sin ( 2 \cdot 2 θ )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{sin ( 2 θ )}{2 sin ( 2 θ ) cos ( 2 θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (2 θ)

= \frac{1}{2 cos ( 2 θ )}

= \frac{1}{2 cos ( 2 θ )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{1}{2} sec (2 θ)

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1}{2} sec (2 θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{cos ( 2 θ )}

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{cos ( 2 θ )} : \frac{1}{2 cos ( 2 θ )}

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{cos ( 2 θ )}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{2 cos ( 2 θ )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{2 cos ( 2 θ )}

= \frac{1}{2 cos ( 2 θ )}

= \frac{1}{2 cos ( 2 θ )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cosh^{(2)} (x) - sinh^{(2)} (x) = 1

p ro v e sin (2 x) - cos (2 x) = 1 - 2 cos (2 x)

p ro v e tan (x) (csc^{(2)} (x) - 1) = cot (x)

p ro v e \frac{sin ^{4} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )} = cos^{2} (x) - 2

p ro v e csc (x) tan (x) = \frac{1}{cos ( x )}