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dimostrare sin(x/2)*cos(x/2)= 1/2 sin(x)

Soluzione

dimostrare

sin (\frac{x}{2}) \cdot cos (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2} sin (x)

Vero

Fasi della soluzione

sin (\frac{x}{2}) cos (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2} sin (x)

Sia:

u = \frac{x}{2}

sin (u) cos (u) = \frac{1}{2} sin (2 u)

Dimostra

sin (u) cos (u) = \frac{1}{2} sin (2 u) :

Vero

sin (u) cos (u) = \frac{1}{2} sin (2 u)

Manipolando il lato destro

\frac{1}{2} sin (2 u)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{1}{2} sin (2 u)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{1}{2} \cdot 2 sin (u) cos (u)

Semplifica

\frac{1}{2} \cdot 2 sin (u) cos (u) : sin (u) cos (u)

\frac{1}{2} \cdot 2 sin (u) cos (u)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2} sin (u) cos (u)

Cancella il fattore comune:

2

= sin (u) cos (u) \cdot 1

Moltiplicare:

cos (u) \cdot 1 = cos (u)

= sin (u) cos (u)

= sin (u) cos (u)

= sin (u) cos (u)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Quindi

sin (\frac{x}{2}) cos (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2} sin (x)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e sin (2 x) + sin (2 y) = 2 sin (x + y) cos (x - y)

p ro v e cot (x) - csc^{2} (x) cot (x) = - cot^{3} (x)

p ro v e cot (x - \frac{π}{2}) = - tan (x)

p ro v e \frac{1 + tan ^{2} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} = sec (2 θ)

p ro v e cos^{2} (3 x) - sin^{2} (3 x) = cos (6 x)