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provar (cos^3(t))/(cot^2(t))=sin^2(t)cos(t)

Solução

provar

\frac{cos ^{3} ( t )}{cot ^{2} ( t )} = sin^{2} (t) cos (t)

Verdadeiro

Passos da solução

\frac{cos ^{3} ( t )}{cot ^{2} ( t )} = sin^{2} (t) cos (t)

Manipular o lado direito

\frac{cos ^{3} ( t )}{cot ^{2} ( t )}

Expresar com seno, cosseno

\frac{cos ^{3} ( t )}{cot ^{2} ( t )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ^{3} ( t )}{( \frac{c o s ( t )}{s i n ( t )} ) ^{2}}

Simplificar

\frac{cos ^{3} ( t )}{( \frac{c o s ( t )}{s i n ( t )} ) ^{2}} : sin^{2} (t) cos (t)

\frac{cos ^{3} ( t )}{( \frac{c o s ( t )}{s i n ( t )} ) ^{2}}

(\frac{cos ( t )}{sin ( t )})^{2} = \frac{cos ^{2} ( t )}{sin ^{2} ( t )}

(\frac{cos ( t )}{sin ( t )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{cos ^{2} ( t )}{sin ^{2} ( t )}

= \frac{cos ^{3} ( t )}{\frac{c o s ^{2} ( t )}{s i n ^{2} ( t )}}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{cos ^{3} ( t ) sin ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

\frac{cos ^{3} ( t )}{cos ^{2} ( t )} = cos^{3 - 2} (t)

= sin^{2} (t) cos^{3 - 2} (t)

Subtrair:

3 - 2 = 1

= sin^{2} (t) cos (t)

= sin^{2} (t) cos (t)

= cos (t) sin^{2} (t)

= sin^{2} (t) cos (t)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e cos (a + b) cos (a - b) = cos^{2} (a) - cos^{2} (b)

p ro v e tan (x) sin (2 x) = 2 sin^{2} (x)

p ro v e cot (x) tan (x) - (sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) = 0

p ro v e cos (x) sec (x) = tan (x) cot (x)

p ro v e \frac{csc ( x )}{1 + cot ^{2} ( x )} = sin (x)