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beweisen (1-sin^2(t))(1+tan^2(t))=1

Lösung

beweisen

(1 - sin^{2} (t)) (1 + tan^{2} (t)) = 1

Wahr

Schritte zur Lösung

(1 - sin^{2} (t)) (1 + tan^{2} (t)) = 1

Manipuliere die linke Seite

(1 - sin^{2} (t)) (1 + tan^{2} (t))

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(1 - sin^{2} (t)) (1 + tan^{2} (t))

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= cos^{2} (t) (1 + tan^{2} (t))

= cos^{2} (t) (1 + tan^{2} (t))

Drücke mit sin, cos aus

(1 + tan^{2} (t)) cos^{2} (t)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (1 + (\frac{sin ( t )}{cos ( t )})^{2}) cos^{2} (t)

Vereinfache

(1 + (\frac{sin ( t )}{cos ( t )})^{2}) cos^{2} (t) : cos^{2} (t) + sin^{2} (t)

(1 + (\frac{sin ( t )}{cos ( t )})^{2}) cos^{2} (t)

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= cos^{2} (t) (\frac{sin ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )} + 1)

Füge

1 + \frac{sin ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( t ) + sin ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )}

1 + \frac{sin ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )} + \frac{sin ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( t ) + sin ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (t) = cos^{2} (t)

= \frac{cos ^{2} ( t ) + sin ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )}

= \frac{cos ^{2} ( t ) + sin ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )} cos^{2} (t)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( t ) + sin ^{2} ( t ) ) cos ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (t)

= cos^{2} (t) + sin^{2} (t)

= cos^{2} (t) + sin^{2} (t)

= cos^{2} (t) + sin^{2} (t)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos^{2} (t) + sin^{2} (t)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= 1

= 1

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 1 - cosh^{2} (x) = - sinh^{2} (x)

p ro v e cot^{2} (θ) + 1 = csc^{2} (θ)

p ro v e 2 cos (θ) tan (θ) csc (θ) = 2

p ro v e \frac{( cos ^{2} ( x ) + 4 cos ( x ) + 4 )}{( cos ( x ) + 2 )} = \frac{( 2 sec ( x ) + 1 )}{sec ( x )}

p ro v e 5 cos^{2} (x) - 5 sin^{2} (x) = 10 cos^{2} (x) - 5