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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (cos(x))/(sec(x)-1)-(cos(x))/(sec(x)+1)=(2cos(x))/(tan^2(x))

Lösung

beweisen

\frac{cos ( x )}{sec ( x ) - 1} - \frac{cos ( x )}{sec ( x ) + 1} = \frac{2 cos ( x )}{tan ^{2} ( x )}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{cos ( x )}{sec ( x ) - 1} - \frac{cos ( x )}{sec ( x ) + 1} = \frac{2 cos ( x )}{tan ^{2} ( x )}

Manipuliere die linke Seite

\frac{cos ( x )}{sec ( x ) - 1} - \frac{cos ( x )}{sec ( x ) + 1}

Multipliziere aus

\frac{cos ( x )}{- 1 + sec ( x )} - \frac{cos ( x )}{1 + sec ( x )} : \frac{2 cos ( x )}{sec ^{2} ( x ) - 1}

\frac{cos ( x )}{- 1 + sec ( x )} - \frac{cos ( x )}{1 + sec ( x )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

- 1 + sec (x), 1 + sec (x) : (sec (x) + 1) (sec (x) - 1)

- 1 + sec (x), 1 + sec (x)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

- 1 + sec (x)

oder

1 + sec (x)

auftauchen.

= (sec (x) + 1) (sec (x) - 1)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

(sec (x) + 1) (sec (x) - 1)

Für

\frac{cos ( x )}{- 1 + sec ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

sec (x) + 1

\frac{cos ( x )}{- 1 + sec ( x )} = \frac{cos ( x ) ( sec ( x ) + 1 )}{( - 1 + sec ( x ) ) ( sec ( x ) + 1 )}

Für

\frac{cos ( x )}{1 + sec ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

sec (x) - 1

\frac{cos ( x )}{1 + sec ( x )} = \frac{cos ( x ) ( sec ( x ) - 1 )}{( 1 + sec ( x ) ) ( sec ( x ) - 1 )}

= \frac{cos ( x ) ( sec ( x ) + 1 )}{( - 1 + sec ( x ) ) ( sec ( x ) + 1 )} - \frac{cos ( x ) ( sec ( x ) - 1 )}{( 1 + sec ( x ) ) ( sec ( x ) - 1 )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( x ) ( sec ( x ) + 1 ) - cos ( x ) ( sec ( x ) - 1 )}{( sec ( x ) + 1 ) ( sec ( x ) - 1 )}

Multipliziere aus

(sec (x) + 1) (sec (x) - 1) : sec^{2} (x) - 1

(sec (x) + 1) (sec (x) - 1)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = sec (x), b = 1

= sec^{2} (x) - 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= sec^{2} (x) - 1

= \frac{cos ( x ) ( sec ( x ) + 1 ) - cos ( x ) ( sec ( x ) - 1 )}{sec ^{2} ( x ) - 1}

Multipliziere aus

cos (x) (sec (x) + 1) - cos (x) (sec (x) - 1) : 2 cos (x)

cos (x) (sec (x) + 1) - cos (x) (sec (x) - 1)

Multipliziere aus

cos (x) (sec (x) + 1) : cos (x) sec (x) + cos (x)

cos (x) (sec (x) + 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = cos (x), b = sec (x), c = 1

= cos (x) sec (x) + cos (x) \cdot 1

= cos (x) sec (x) + 1 \cdot cos (x)

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= cos (x) sec (x) + cos (x)

= cos (x) sec (x) + cos (x) - cos (x) (sec (x) - 1)

Multipliziere aus

- cos (x) (sec (x) - 1) : - cos (x) sec (x) + cos (x)

- cos (x) (sec (x) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - cos (x), b = sec (x), c = 1

= - cos (x) sec (x) - (- cos (x)) \cdot 1

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - cos (x) sec (x) + 1 \cdot cos (x)

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= - cos (x) sec (x) + cos (x)

= cos (x) sec (x) + cos (x) - cos (x) sec (x) + cos (x)

Vereinfache

cos (x) sec (x) + cos (x) - cos (x) sec (x) + cos (x) : 2 cos (x)

cos (x) sec (x) + cos (x) - cos (x) sec (x) + cos (x)

Addiere gleiche Elemente:

cos (x) sec (x) - cos (x) sec (x) = 0

= cos (x) + cos (x)

Addiere gleiche Elemente:

cos (x) + cos (x) = 2 cos (x)

= 2 cos (x)

= 2 cos (x)

= \frac{2 cos ( x )}{sec ^{2} ( x ) - 1}

= \frac{2 cos ( x )}{- 1 + sec ^{2} ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{2 cos ( x )}{tan ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{2 cos ( x )}{tan ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

tan^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

= \frac{2 cos ( x )}{sec ^{2} ( x ) - 1}

= \frac{2 cos ( x )}{sec ^{2} ( x ) - 1}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen (cot(a))/(cos(a))=csc(a)

p ro v e \frac{cot ( a )}{cos ( a )} = csc (a)

beweisen cos(2θ)=(2-sec^2(θ))/(sec^2(θ))

p ro v e cos (2 θ) = \frac{2 - sec ^{2} ( θ )}{sec ^{2} ( θ )}

beweisen (tan(x)+sec(x))(1-sin(x))=cos(x)

p ro v e (tan (x) + sec (x)) (1 - sin (x)) = cos (x)

beweisen (csc^4(x)-1)/(cot^2(x))=csc^2(x)+1

p ro v e \frac{csc ^{4} ( x ) - 1}{cot ^{2} ( x )} = csc^{2} (x) + 1

beweisen sin(θ)+cos(θ)=sqrt(2)sin(θ+45)

p ro v e sin (θ) + cos (θ) = 2 sin (θ + 4 5^{\circ})