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人気のある三角関数 >

証明する cos(2θ)=(2-sec^2(θ))/(sec^2(θ))

解

証明する

cos (2 θ) = \frac{2 - sec ^{2} ( θ )}{sec ^{2} ( θ )}

解

真

解答ステップ

cos (2 θ) = \frac{2 - sec ^{2} ( θ )}{sec ^{2} ( θ )}

右側を操作する

\frac{2 - sec ^{2} ( θ )}{sec ^{2} ( θ )}

サイン, コサインで表わす

\frac{2 - sec ^{2} ( θ )}{sec ^{2} ( θ )}

基本的な三角関数の公式を使用する:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{2 - ( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

簡素化

\frac{2 - ( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}} : 2 cos^{2} (θ) - 1

\frac{2 - ( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

指数の規則を適用する:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{2 - ( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{\frac{1}{c o s ^{2} ( θ )}}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

指数の規則を適用する:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{2 - \frac{1}{c o s ^{2} ( θ )}}{\frac{1}{c o s ^{2} ( θ )}}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 2 - \frac{1}{c o s ^{2} ( θ )} ) cos ^{2} ( θ )}{1}

結合

2 - \frac{1}{cos ^{2} ( θ )} : \frac{2 cos ^{2} ( θ ) - 1}{cos ^{2} ( θ )}

2 - \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

元を分数に変換する:

2 = \frac{2 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{2 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} - \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ^{2} ( θ ) - 1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{2 c o s ^{2} ( θ ) - 1}{c o s ^{2} ( θ )} cos ^{2} ( θ )}{1}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{1} = a

= \frac{2 cos ^{2} ( θ ) - 1}{cos ^{2} ( θ )} cos^{2} (θ)

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 2 cos ^{2} ( θ ) - 1 ) cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

共通因数を約分する:

cos^{2} (θ)

= 2 cos^{2} (θ) - 1

= 2 cos^{2} (θ) - 1

= - 1 + 2 cos^{2} (θ)

三角関数の公式を使用して書き換える

- 1 + 2 cos^{2} (θ)

2倍角の公式を使用:

2 cos^{2} (x) - 1 = cos (2 x)

= cos (2 θ)

= cos (2 θ)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する (tan(x)+sec(x))(1-sin(x))=cos(x)

p ro v e (tan (x) + sec (x)) (1 - sin (x)) = cos (x)

証明する (csc^4(x)-1)/(cot^2(x))=csc^2(x)+1

p ro v e \frac{csc ^{4} ( x ) - 1}{cot ^{2} ( x )} = csc^{2} (x) + 1

証明する sin(θ)+cos(θ)=sqrt(2)sin(θ+45)

p ro v e sin (θ) + cos (θ) = 2 sin (θ + 4 5^{\circ})

証明する (1-tan(θ))/(1+tan(θ))=(cot(θ)-1)/(cot(θ)+1)

p ro v e \frac{1 - tan ( θ )}{1 + tan ( θ )} = \frac{cot ( θ ) - 1}{cot ( θ ) + 1}

証明する cot(θ)sin(θ)cos(θ)=1-sin^2(θ)

p ro v e cot (θ) sin (θ) cos (θ) = 1 - sin^{2} (θ)