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beweisen tan(θ)=(1-cos(2θ))/(sin(2θ))

Lösung

beweisen

tan (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

Wahr

Schritte zur Lösung

tan (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{1 - cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{1 - cos ( 2 θ )}{2 sin ( θ ) cos ( θ )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( θ ) )}{2 sin ( θ ) cos ( θ )}

Vereinfache

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( θ ) )}{2 sin ( θ ) cos ( θ )} : \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( θ ) )}{2 sin ( θ ) cos ( θ )}

Multipliziere aus

1 - (1 - 2 sin^{2} (θ)) : 2 sin^{2} (θ)

1 - (1 - 2 sin^{2} (θ))

- (1 - 2 sin^{2} (θ)) : - 1 + 2 sin^{2} (θ)

- (1 - 2 sin^{2} (θ))

Setze Klammern

= - (1) - (- 2 sin^{2} (θ))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (θ)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (θ)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (θ)

= \frac{2 sin ^{2} ( θ )}{2 sin ( θ ) cos ( θ )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (θ)

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{sin ^{2} ( x ) cot ( x )}{cos ( x )} = sin (x)

p ro v e csc (2 θ) + cot (2 θ) = cot (θ)

p ro v e - tan (x) cos (x) = sin (- x)

p ro v e cos (x + 2 π) = cos (x)

p ro v e sin (x) (1 + cot (x)) = sin (x) + cos (x)