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beweisen (1+tan^2(u))/(1-tan^2(u))= 1/(cos^2(u)-sin^2(u))

Lösung

beweisen

\frac{1 + tan ^{2} ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )} = \frac{1}{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 + tan ^{2} ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )} = \frac{1}{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}

Manipuliere die linke Seite

\frac{1 + tan ^{2} ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 + tan ^{2} ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 + ( \frac{s i n ( u )}{c o s ( u )} ) ^{2}}{1 - ( \frac{s i n ( u )}{c o s ( u )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1 + ( \frac{s i n ( u )}{c o s ( u )} ) ^{2}}{1 - ( \frac{s i n ( u )}{c o s ( u )} ) ^{2}} : \frac{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}

\frac{1 + ( \frac{s i n ( u )}{c o s ( u )} ) ^{2}}{1 - ( \frac{s i n ( u )}{c o s ( u )} ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 + ( \frac{s i n ( u )}{c o s ( u )} ) ^{2}}{1 - \frac{s i n ^{2} ( u )}{c o s ^{2} ( u )}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 + \frac{s i n ^{2} ( u )}{c o s ^{2} ( u )}}{1 - \frac{s i n ^{2} ( u )}{c o s ^{2} ( u )}}

Füge

1 - \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

1 - \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )} - \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (u) = cos^{2} (u)

= \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{1 + \frac{s i n ^{2} ( u )}{c o s ^{2} ( u )}}{\frac{c o s ^{2} ( u ) - s i n ^{2} ( u )}{c o s ^{2} ( u )}}

Füge

1 + \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

1 + \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )} + \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (u) = cos^{2} (u)

= \frac{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( u ) + s i n ^{2} ( u )}{c o s ^{2} ( u )}}{\frac{c o s ^{2} ( u ) - s i n ^{2} ( u )}{c o s ^{2} ( u )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u ) ) cos ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u ) ( cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (u)

= \frac{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 1 + tan^{2} (- x) = sec^{2} (x)

p ro v e tan (\frac{π}{2} - x) = cot (x)

p ro v e cos (\frac{π}{4} - x) + cos (\frac{π}{4} + x) = 2 cos (x)

p ro v e sin^{4} (x) - cos^{4} (x) = - cos (2 x)

p ro v e \frac{cos ( x )}{tan ( x )} = csc (x) - sin (x)