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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (csc^2(x)-1)sec(x)=cos(x)csc^2(x)

Lösung

beweisen

(csc^{2} (x) - 1) sec (x) = cos (x) csc^{2} (x)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

(csc^{2} (x) - 1) sec (x) = cos (x) csc^{2} (x)

Manipuliere die linke Seite

(csc^{2} (x) - 1) sec (x)

Drücke mit sin, cos aus

(- 1 + csc^{2} (x)) sec (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= (- 1 + (\frac{1}{sin ( x )})^{2}) sec (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (- 1 + (\frac{1}{sin ( x )})^{2}) \frac{1}{cos ( x )}

Vereinfache

(- 1 + (\frac{1}{sin ( x )})^{2}) \frac{1}{cos ( x )} : \frac{- sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )}

(- 1 + (\frac{1}{sin ( x )})^{2}) \frac{1}{cos ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( - 1 + ( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2} )}{cos ( x )}

1 \cdot (- 1 + (\frac{1}{sin ( x )})^{2}) = - 1 + (\frac{1}{sin ( x )})^{2}

1 \cdot (- 1 + (\frac{1}{sin ( x )})^{2})

Multipliziere:

1 \cdot (- 1 + (\frac{1}{sin ( x )})^{2}) = (- 1 + (\frac{1}{sin ( x )})^{2})

= (- 1 + (\frac{1}{sin ( x )})^{2})

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= - 1 + (\frac{1}{sin ( x )})^{2}

= \frac{- 1 + ( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}{cos ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{- 1 + \frac{1}{s i n ^{2} ( x )}}{cos ( x )}

Füge

- 1 + \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{- sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )}

- 1 + \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= - \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{- sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{- s i n ^{2} ( x ) + 1}{s i n ^{2} ( x )}}{cos ( x )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{- sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )}

= \frac{- sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (x)

= \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{cos ( x )}{( \frac{1}{c s c ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{cos ( x )}{( \frac{1}{c s c ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( x )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

(\frac{1}{csc ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

= \frac{cos ( x )}{\frac{1}{c s c ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{cos ( x ) csc ^{2} ( x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= csc^{2} (x) cos (x)

csc^{2} (x) cos (x)

csc^{2} (x) cos (x)

= cos (x) csc^{2} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen (1+cot^2(x))tan^2(x)=sec^2(x)

p ro v e (1 + cot^{2} (x)) tan^{2} (x) = sec^{2} (x)

beweisen sin(x)(csc(x)-sin(x))=cos^2(x)

p ro v e sin (x) (csc (x) - sin (x)) = cos^{2} (x)

beweisen cot(x)-tan(x)=sec(x)(csc(x)-2sin(x))

p ro v e cot (x) - tan (x) = sec (x) (csc (x) - 2 sin (x))

beweisen 1+cot^2(-θ)=csc^2(θ)

p ro v e 1 + cot^{2} (- θ) = csc^{2} (θ)

beweisen cos(x)(1+tan^2(x))=sec(x)

p ro v e cos (x) (1 + tan^{2} (x)) = sec (x)