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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (1+cot^2(x))tan^2(x)=sec^2(x)

Lösung

beweisen

(1 + cot^{2} (x)) tan^{2} (x) = sec^{2} (x)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

(1 + cot^{2} (x)) tan^{2} (x) = sec^{2} (x)

Manipuliere die linke Seite

(1 + cot^{2} (x)) tan^{2} (x)

Drücke mit sin, cos aus

(1 + cot^{2} (x)) tan^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (1 + (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}) tan^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (1 + (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}) (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Vereinfache

(1 + (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}) (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} : \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

(1 + (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}) (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} (\frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + 1)

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} (\frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + 1)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ^{2} ( x ) ( 1 + \frac{c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )} )}{cos ^{2} ( x )}

Füge

1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{s i n ^{2} ( x ) + c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )} sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere

sin^{2} (x) \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} : sin^{2} (x) + cos^{2} (x)

sin^{2} (x) \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) ) sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin^{2} (x)

= sin^{2} (x) + cos^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{( \frac{1}{s e c ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1}{( \frac{1}{s e c ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sec ( x )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sec ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( x )}

= \frac{1}{\frac{1}{s e c ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ^{2} ( x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec^{2} (x)

sec^{2} (x)

sec^{2} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen sin(x)(csc(x)-sin(x))=cos^2(x)

p ro v e sin (x) (csc (x) - sin (x)) = cos^{2} (x)

beweisen cot(x)-tan(x)=sec(x)(csc(x)-2sin(x))

p ro v e cot (x) - tan (x) = sec (x) (csc (x) - 2 sin (x))

beweisen 1+cot^2(-θ)=csc^2(θ)

p ro v e 1 + cot^{2} (- θ) = csc^{2} (θ)

beweisen cos(x)(1+tan^2(x))=sec(x)

p ro v e cos (x) (1 + tan^{2} (x)) = sec (x)

beweisen (sec^2(x)-1)csc(x)=sin(x)sec^2(x)

p ro v e (sec^{2} (x) - 1) csc (x) = sin (x) sec^{2} (x)