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Popolare Trigonometria >

2sinh(2x)-10sinh(x)=0

Soluzione

2 sinh (2 x) - 10 sinh (x) = 0

Soluzione

x = 0, x = ln (\frac{5 + 21}{2}), x = ln (\frac{5 - 21}{2})

Gradi

x = 0^{\circ}, x = 89.77098 \dots^{\circ}, x = - 89.77098 \dots^{\circ}

Fasi della soluzione

2 sinh (2 x) - 10 sinh (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

2 sinh (2 x) - 10 sinh (x) = 0

Usa l'identità iperbolica:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

2 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0

2 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0

2 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0 : x = 0, x = ln (\frac{5 + 21}{2}), x = ln (\frac{5 - 21}{2})

2 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0

Aggiungi

10 \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

ad entrambi i lati

2 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} + 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0 + 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

Semplificare

e^{2 x} - e^{- 2 x} = 5 (e^{x} - e^{- x})

Applica le regole dell'esponente

e^{2 x} - e^{- 2 x} = 5 (e^{x} - e^{- x})

Applica la regola degli esponenti:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{2 x} = (e^{x})^{2}, e^{- 2 x} = (e^{x})^{- 2}, e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

(e^{x})^{2} - (e^{x})^{- 2} = 5 (e^{x} - (e^{x})^{- 1})

(e^{x})^{2} - (e^{x})^{- 2} = 5 (e^{x} - (e^{x})^{- 1})

Riscrivi l'equazione con

e^{x} = u

(u)^{2} - (u)^{- 2} = 5 (u - (u)^{- 1})

Risolvi

u^{2} - u^{- 2} = 5 (u - u^{- 1}) : u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

u^{2} - u^{- 2} = 5 (u - u^{- 1})

Affinare

u^{2} - \frac{1}{u ^{2}} = 5 (u - \frac{1}{u})

Moltiplica entrambi i lati per

u^{2}

u^{2} - \frac{1}{u ^{2}} = 5 (u - \frac{1}{u})

Moltiplica entrambi i lati per

u^{2}

u^{2} u^{2} - \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

Semplificare

u^{2} u^{2} - \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

Semplificare

u^{2} u^{2} : u^{4}

u^{2} u^{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= u^{2 + 2}

Aggiungi i numeri:

2 + 2 = 4

= u^{4}

Semplificare

- \frac{1}{u ^{2}} u^{2} : - 1

- \frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u ^{2}}{u ^{2}}

Cancella il fattore comune:

u^{2}

= - 1

u^{4} - 1 = 5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

u^{4} - 1 = 5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

u^{4} - 1 = 5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

Espandere

5 (u - \frac{1}{u}) u^{2} : 5 u^{3} - 5 u

5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

= 5 u^{2} (u - \frac{1}{u})

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = 5 u^{2}, b = u, c = \frac{1}{u}

= 5 u^{2} u - 5 u^{2} \frac{1}{u}

= 5 u^{2} u - 5 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

Semplifica

5 u^{2} u - 5 \cdot \frac{1}{u} u^{2} : 5 u^{3} - 5 u

5 u^{2} u - 5 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

5 u^{2} u = 5 u^{3}

5 u^{2} u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 5 u^{2 + 1}

Aggiungi i numeri:

2 + 1 = 3

= 5 u^{3}

5 \cdot \frac{1}{u} u^{2} = 5 u

5 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 5 u ^{2}}{u}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 5 = 5

= \frac{5 u ^{2}}{u}

Cancella il fattore comune:

u

= 5 u

= 5 u^{3} - 5 u

= 5 u^{3} - 5 u

u^{4} - 1 = 5 u^{3} - 5 u

Risolvi

u^{4} - 1 = 5 u^{3} - 5 u : u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

u^{4} - 1 = 5 u^{3} - 5 u

Spostare

5 u

a sinistra dell'equazione

u^{4} - 1 = 5 u^{3} - 5 u

Aggiungi

5 u

ad entrambi i lati

u^{4} - 1 + 5 u = 5 u^{3} - 5 u + 5 u

Semplificare

u^{4} - 1 + 5 u = 5 u^{3}

u^{4} - 1 + 5 u = 5 u^{3}

Spostare

5 u^{3}

a sinistra dell'equazione

u^{4} - 1 + 5 u = 5 u^{3}

Sottrarre

5 u^{3}

da entrambi i lati

u^{4} - 1 + 5 u - 5 u^{3} = 5 u^{3} - 5 u^{3}

Semplificare

u^{4} - 1 + 5 u - 5 u^{3} = 0

u^{4} - 1 + 5 u - 5 u^{3} = 0

Scrivi in forma standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} - 5 u^{3} + 5 u - 1 = 0

Fattorizza

u^{4} - 5 u^{3} + 5 u - 1 : (u + 1) (u - 1) (u^{2} - 5 u + 1)

u^{4} - 5 u^{3} + 5 u - 1

Usa il teorema della radice razionale

a_{0} = 1, a_{n} = 1

I divisori of

a_{0} : 1,

I divisori di

a_{n} : 1

Quindi, controlla i seguenti numeri razionali:

\pm \frac{1}{1}

- \frac{1}{1}

è una radice della seguente espressione, quindi il fattore è

u + 1

= (u + 1) \frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

\frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} = u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

\frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

Dividere

\frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} : \frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} = u^{3} + \frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

u^{4} - 5 u^{3} + 5 u - 1

and the divisor

u + 1 : \frac{u ^{4}}{u} = u^{3}

Quoziente = u^{3}

Moltiplica

u + 1

per

u^{3} : u^{4} + u^{3}

Sottrarre

u^{4} + u^{3}

u^{4} - 5 u^{3} + 5 u - 1

per ottenere un nuovo resto

Resto = - 6 u^{3} + 5 u - 1

Quindi

\frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} = u^{3} + \frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

= u^{3} + \frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

Dividere

\frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} : \frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} = - 6 u^{2} + \frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1}

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

- 6 u^{3} + 5 u - 1

and the divisor

u + 1 : \frac{- 6 u ^{3}}{u} = - 6 u^{2}

Quoziente = - 6 u^{2}

Moltiplica

u + 1

per

- 6 u^{2} : - 6 u^{3} - 6 u^{2}

Sottrarre

- 6 u^{3} - 6 u^{2}

- 6 u^{3} + 5 u - 1

per ottenere un nuovo resto

Resto = 6 u^{2} + 5 u - 1

Quindi

\frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} = - 6 u^{2} + \frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1}

= u^{3} - 6 u^{2} + \frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1}

Dividere

\frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1} : \frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1} = 6 u + \frac{- u - 1}{u + 1}

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

6 u^{2} + 5 u - 1

and the divisor

u + 1 : \frac{6 u ^{2}}{u} = 6 u

Quoziente = 6 u

Moltiplica

u + 1

per

6 u : 6 u^{2} + 6 u

Sottrarre

6 u^{2} + 6 u

6 u^{2} + 5 u - 1

per ottenere un nuovo resto

Resto = - u - 1

Quindi

\frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1} = 6 u + \frac{- u - 1}{u + 1}

= u^{3} - 6 u^{2} + 6 u + \frac{- u - 1}{u + 1}

Dividere

\frac{- u - 1}{u + 1} : \frac{- u - 1}{u + 1} = - 1

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

- u - 1

and the divisor

u + 1 : \frac{- u}{u} = - 1

Quoziente = - 1

Moltiplica

u + 1

per

- 1 : - u - 1

Sottrarre

- u - 1

- u - 1

per ottenere un nuovo resto

Resto = 0

Quindi

\frac{- u - 1}{u + 1} = - 1

= u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

= u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

Fattorizza

u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1 : (u - 1) (u^{2} - 5 u + 1)

u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

Usa il teorema della radice razionale

a_{0} = 1, a_{n} = 1

I divisori of

a_{0} : 1,

I divisori di

a_{n} : 1

Quindi, controlla i seguenti numeri razionali:

\pm \frac{1}{1}

\frac{1}{1}

è una radice della seguente espressione, quindi il fattore è

u - 1

= (u - 1) \frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

\frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} = u^{2} - 5 u + 1

\frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

Dividere

\frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} : \frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} = u^{2} + \frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

and the divisor

u - 1 : \frac{u ^{3}}{u} = u^{2}

Quoziente = u^{2}

Moltiplica

u - 1

per

u^{2} : u^{3} - u^{2}

Sottrarre

u^{3} - u^{2}

u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

per ottenere un nuovo resto

Resto = - 5 u^{2} + 6 u - 1

Quindi

\frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} = u^{2} + \frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

= u^{2} + \frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

Dividere

\frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} : \frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} = - 5 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

- 5 u^{2} + 6 u - 1

and the divisor

u - 1 : \frac{- 5 u ^{2}}{u} = - 5 u

Quoziente = - 5 u

Moltiplica

u - 1

per

- 5 u : - 5 u^{2} + 5 u

Sottrarre

- 5 u^{2} + 5 u

- 5 u^{2} + 6 u - 1

per ottenere un nuovo resto

Resto = u - 1

Quindi

\frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} = - 5 u + \frac{u - 1}{u - 1}

= u^{2} - 5 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Dividere

\frac{u - 1}{u - 1} : \frac{u - 1}{u - 1} = 1

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

u - 1

and the divisor

u - 1 : \frac{u}{u} = 1

Quoziente = 1

Moltiplica

u - 1

per

1 : u - 1

Sottrarre

u - 1

u - 1

per ottenere un nuovo resto

Resto = 0

Quindi

\frac{u - 1}{u - 1} = 1

= u^{2} - 5 u + 1

= u^{2} - 5 u + 1

= (u - 1) (u^{2} - 5 u + 1)

= (u + 1) (u - 1) (u^{2} - 5 u + 1)

(u + 1) (u - 1) (u^{2} - 5 u + 1) = 0

Usando il Principio del Fattore Zero:

ab = 0

allora

a = 0

b = 0

u + 1 = 0 or u - 1 = 0 or u^{2} - 5 u + 1 = 0

Risolvi

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

u + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

u = - 1

u = - 1

Risolvi

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

u = 1

u = 1

Risolvi

u^{2} - 5 u + 1 = 0 : u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

u^{2} - 5 u + 1 = 0

Risolvi con la formula quadratica

u^{2} - 5 u + 1 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 1, b = - 5, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

(- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 21

(- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 5)^{2} = 5^{2}

= 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 5^{2} - 4

5^{2} = 25

= 25 - 4

Sottrai i numeri:

25 - 4 = 21

= 21

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm 21}{2 \cdot 1}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 21}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 21}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 5 ) + 21}{2 \cdot 1} : \frac{5 + 21}{2}

\frac{- ( - 5 ) + 21}{2 \cdot 1}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{5 + 21}{2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{5 + 21}{2}

u = \frac{- ( - 5 ) - 21}{2 \cdot 1} : \frac{5 - 21}{2}

\frac{- ( - 5 ) - 21}{2 \cdot 1}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{5 - 21}{2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{5 - 21}{2}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

Le soluzioni sono

u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

u^{2} - u^{- 2}

e confrontare con zero

Risolvi

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Applicare la regola

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

5 (u - u^{- 1})

e confrontare con zero

u = 0

I seguenti punti sono non definiti

u = 0

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

Sostituisci

u = e^{x},

risolvi per

x

Risolvi

e^{x} = - 1 :

Nessuna soluzione per

x \in R

e^{x} = - 1

a^{f(x)} non può essere zero o negativo per x\in\mathbb{R}

Nessuna soluzione per x \in R

Risolvi

e^{x} = 1 : x = 0

e^{x} = 1

Applica le regole dell'esponente

e^{x} = 1

f (x) = g (x)

, allora

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1)

Applica la regola del logaritmo:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1)

Semplificare

ln (1) : 0

ln (1)

Applica la regola del logaritmo:

lo g_{a} (1) = 0

= 0

x = 0

x = 0

Risolvi

e^{x} = \frac{5 + 21}{2} : x = ln (\frac{5 + 21}{2})

e^{x} = \frac{5 + 21}{2}

Applica le regole dell'esponente

e^{x} = \frac{5 + 21}{2}

f (x) = g (x)

, allora

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{5 + 21}{2})

Applica la regola del logaritmo:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{5 + 21}{2})

x = ln (\frac{5 + 21}{2})

Risolvi

e^{x} = \frac{5 - 21}{2} : x = ln (\frac{5 - 21}{2})

e^{x} = \frac{5 - 21}{2}

Applica le regole dell'esponente

e^{x} = \frac{5 - 21}{2}

f (x) = g (x)

, allora

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{5 - 21}{2})

Applica la regola del logaritmo:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{5 - 21}{2})

x = ln (\frac{5 - 21}{2})

x = 0, x = ln (\frac{5 + 21}{2}), x = ln (\frac{5 - 21}{2})

x = 0, x = ln (\frac{5 + 21}{2}), x = ln (\frac{5 - 21}{2})

Grafico

Esempi popolari

cot(x-pi/2)+1=0

cot (x - \frac{π}{2}) + 1 = 0

-sin(t)+cos(t)=0

- sin (t) + cos (t) = 0

4cos(x)=3sec(x)

4 cos (x) = 3 sec (x)

2sin(x)cos(x)=2sin(x)

2 sin (x) cos (x) = 2 sin (x)

csc(3x)=2

csc (3 x) = 2