解答
8sin(x)=cos(x)−3
解答
x=−2.63596…+2πn,x=2π−0.25691…+2πn
+1
度数
x=−151.02953…∘+360∘n,x=345.27956…∘+360∘n求解步骤
8sin(x)=cos(x)−3
两边进行平方(8sin(x))2=(cos(x)−3)2
两边减去 (cos(x)−3)264sin2(x)−cos2(x)+6cos(x)−9=0
使用三角恒等式改写
−9−cos2(x)+64sin2(x)+6cos(x)
使用毕达哥拉斯恒等式: cos2(x)+sin2(x)=1sin2(x)=1−cos2(x)=−9−cos2(x)+64(1−cos2(x))+6cos(x)
化简 −9−cos2(x)+64(1−cos2(x))+6cos(x):6cos(x)−65cos2(x)+55
−9−cos2(x)+64(1−cos2(x))+6cos(x)
乘开 64(1−cos2(x)):64−64cos2(x)
64(1−cos2(x))
使用分配律: a(b−c)=ab−aca=64,b=1,c=cos2(x)=64⋅1−64cos2(x)
数字相乘:64⋅1=64=64−64cos2(x)
=−9−cos2(x)+64−64cos2(x)+6cos(x)
化简 −9−cos2(x)+64−64cos2(x)+6cos(x):6cos(x)−65cos2(x)+55
−9−cos2(x)+64−64cos2(x)+6cos(x)
对同类项分组=−cos2(x)−64cos2(x)+6cos(x)−9+64
同类项相加:−cos2(x)−64cos2(x)=−65cos2(x)=−65cos2(x)+6cos(x)−9+64
数字相加/相减:−9+64=55=6cos(x)−65cos2(x)+55
=6cos(x)−65cos2(x)+55
=6cos(x)−65cos2(x)+55
55−65cos2(x)+6cos(x)=0
用替代法求解
55−65cos2(x)+6cos(x)=0
令:cos(x)=u55−65u2+6u=0
55−65u2+6u=0:u=−65−3+1614,u=653+1614
55−65u2+6u=0
改写成标准形式 ax2+bx+c=0−65u2+6u+55=0
使用求根公式求解
−65u2+6u+55=0
二次方程求根公式:
若 a=−65,b=6,c=55u1,2=2(−65)−6±62−4(−65)⋅55
u1,2=2(−65)−6±62−4(−65)⋅55
62−4(−65)⋅55=3214
62−4(−65)⋅55
使用法则 −(−a)=a=62+4⋅65⋅55
数字相乘:4⋅65⋅55=14300=62+14300
62=36=36+14300
数字相加:36+14300=14336=14336
14336质因数分解:211⋅7
14336
14336除以 214336=7168⋅2=2⋅7168
7168除以 27168=3584⋅2=2⋅2⋅3584
3584除以 23584=1792⋅2=2⋅2⋅2⋅1792
1792除以 21792=896⋅2=2⋅2⋅2⋅2⋅896
896除以 2896=448⋅2=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅448
448除以 2448=224⋅2=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅224
224除以 2224=112⋅2=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅112
112除以 2112=56⋅2=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅56
56除以 256=28⋅2=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅28
28除以 228=14⋅2=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅14
14除以 214=7⋅2=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅7
2,7 都是质数，因此无法进一步因数分解=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅7
=211⋅7
=211⋅7
使用指数法则: ab+c=ab⋅ac=210⋅2⋅7
使用根式运算法则: nab=nanb=2102⋅7
使用根式运算法则: nam=anm210=2210=25=252⋅7
整理后得=3214
u1,2=2(−65)−6±3214
将解分隔开u1=2(−65)−6+3214,u2=2(−65)−6−3214
u=2(−65)−6+3214:−65−3+1614
2(−65)−6+3214
去除括号: (−a)=−a=−2⋅65−6+3214
数字相乘:2⋅65=130=−130−6+3214
使用分式法则: −ba=−ba=−130−6+3214
消掉 130−6+3214:651614−3
130−6+3214
分解 −6+3214:2(−3+1614)
−6+3214
改写为=−2⋅3+2⋅1614
因式分解出通项 2=2(−3+1614)
=1302(−3+1614)
约分:2=65−3+1614
=−651614−3
=−65−3+1614
u=2(−65)−6−3214:653+1614
2(−65)−6−3214
去除括号: (−a)=−a=−2⋅65−6−3214
数字相乘:2⋅65=130=−130−6−3214
使用分式法则: −b−a=ba−6−3214=−(6+3214)=1306+3214
分解 6+3214:2(3+1614)
6+3214
改写为=2⋅3+2⋅1614
因式分解出通项 2=2(3+1614)
=1302(3+1614)
约分:2=653+1614
二次方程组的解是:u=−65−3+1614,u=653+1614
u=cos(x)代回cos(x)=−65−3+1614,cos(x)=653+1614
cos(x)=−65−3+1614,cos(x)=653+1614
cos(x)=−65−3+1614:x=arccos(−65−3+1614)+2πn,x=−arccos(−65−3+1614)+2πn
cos(x)=−65−3+1614
使用反三角函数性质
cos(x)=−65−3+1614
cos(x)=−65−3+1614的通解cos(x)=−a⇒x=arccos(−a)+2πn,x=−arccos(−a)+2πnx=arccos(−65−3+1614)+2πn,x=−arccos(−65−3+1614)+2πn
x=arccos(−65−3+1614)+2πn,x=−arccos(−65−3+1614)+2πn
cos(x)=653+1614:x=arccos(653+1614)+2πn,x=2π−arccos(653+1614)+2πn
cos(x)=653+1614
使用反三角函数性质
cos(x)=653+1614
cos(x)=653+1614的通解cos(x)=a⇒x=arccos(a)+2πn,x=2π−arccos(a)+2πnx=arccos(653+1614)+2πn,x=2π−arccos(653+1614)+2πn
x=arccos(653+1614)+2πn,x=2π−arccos(653+1614)+2πn
合并所有解x=arccos(−65−3+1614)+2πn,x=−arccos(−65−3+1614)+2πn,x=arccos(653+1614)+2πn,x=2π−arccos(653+1614)+2πn
将解代入原方程进行验证
将它们代入 8sin(x)=cos(x)−3检验解是否符合
去除与方程不符的解。
检验 arccos(−65−3+1614)+2πn的解:假
arccos(−65−3+1614)+2πn
代入 n=1arccos(−65−3+1614)+2π1
对于 8sin(x)=cos(x)−3代入x=arccos(−65−3+1614)+2π18sin(arccos(−65−3+1614)+2π1)=cos(arccos(−65−3+1614)+2π1)−3
整理后得3.87486…=−3.87486…
⇒假
检验 −arccos(−65−3+1614)+2πn的解:真
−arccos(−65−3+1614)+2πn
代入 n=1−arccos(−65−3+1614)+2π1
对于 8sin(x)=cos(x)−3代入x=−arccos(−65−3+1614)+2π18sin(−arccos(−65−3+1614)+2π1)=cos(−arccos(−65−3+1614)+2π1)−3
整理后得−3.87486…=−3.87486…
⇒真
检验 arccos(653+1614)+2πn的解:假
arccos(653+1614)+2πn
代入 n=1arccos(653+1614)+2π1
对于 8sin(x)=cos(x)−3代入x=arccos(653+1614)+2π18sin(arccos(653+1614)+2π1)=cos(arccos(653+1614)+2π1)−3
整理后得2.03282…=−2.03282…
⇒假
检验 2π−arccos(653+1614)+2πn的解:真
2π−arccos(653+1614)+2πn
代入 n=12π−arccos(653+1614)+2π1
对于 8sin(x)=cos(x)−3代入x=2π−arccos(653+1614)+2π18sin(2π−arccos(653+1614)+2π1)=cos(2π−arccos(653+1614)+2π1)−3
整理后得−2.03282…=−2.03282…
⇒真
x=−arccos(−65−3+1614)+2πn,x=2π−arccos(653+1614)+2πn
以小数形式表示解x=−2.63596…+2πn,x=2π−0.25691…+2πn