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Beliebt Trigonometrie >

2sin^2(θ/2-pi/6)-1=0

Lösung

2 sin^{2} (\frac{θ}{2} - \frac{π}{6}) - 1 = 0

Lösung

θ = 4 πn + \frac{5 π}{6}, θ = 4 πn + \frac{11 π}{6}, θ = 4 πn + \frac{17 π}{6}, θ = 4 πn + \frac{23 π}{6}

Grad

θ = 15 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, θ = 33 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, θ = 51 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, θ = 69 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 sin^{2} (\frac{θ}{2} - \frac{π}{6}) - 1 = 0

Löse mit Substitution

2 sin^{2} (\frac{θ}{2} - \frac{π}{6}) - 1 = 0

Angenommen:

sin (\frac{θ}{2} - \frac{π}{6}) = u

2 u^{2} - 1 = 0

2 u^{2} - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

2 u^{2} - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u^{2} - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u^{2} - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

2 u^{2} = 1

2 u^{2} = 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u^{2} = 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u ^{2}}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

u^{2} = \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1}{2}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Setze in

u = sin (\frac{θ}{2} - \frac{π}{6})

ein

sin (\frac{θ}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}, sin (\frac{θ}{2} - \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}

sin (\frac{θ}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}, sin (\frac{θ}{2} - \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}

sin (\frac{θ}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{1}{2} : θ = 4 πn + \frac{5 π}{6}, θ = 4 πn + \frac{11 π}{6}

sin (\frac{θ}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (\frac{θ}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{4} + 2 πn, \frac{θ}{2} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{4} + 2 πn, \frac{θ}{2} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Löse

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{4} + 2 πn : θ = 4 πn + \frac{5 π}{6}

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{4} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{6}

auf die rechte Seite

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{4} + 2 πn

Füge

\frac{π}{6}

zu beiden Seiten hinzu

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} + \frac{π}{6} = \frac{π}{4} + 2 πn + \frac{π}{6}

Vereinfache

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} + \frac{π}{6} = \frac{π}{4} + 2 πn + \frac{π}{6}

Vereinfache

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} + \frac{π}{6} : \frac{θ}{2}

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} + \frac{π}{6}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{π}{6} + \frac{π}{6} = 0

= \frac{θ}{2}

Vereinfache

\frac{π}{4} + 2 πn + \frac{π}{6} : 2 πn + \frac{5 π}{12}

\frac{π}{4} + 2 πn + \frac{π}{6}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn + \frac{π}{4} + \frac{π}{6}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

4, 6 : 12

4, 6

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

4 : 2 \cdot 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

Primfaktorzerlegung von

6 : 2 \cdot 3

6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

4

oder

6

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

12

Für

\frac{π}{4} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

Für

\frac{π}{6} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

\frac{π}{6} = \frac{π 2}{6 \cdot 2} = \frac{π 2}{12}

= \frac{π 3}{12} + \frac{π 2}{12}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 3 + π 2}{12}

Addiere gleiche Elemente:

3 π + 2 π = 5 π

= 2 πn + \frac{5 π}{12}

\frac{θ}{2} = 2 πn + \frac{5 π}{12}

\frac{θ}{2} = 2 πn + \frac{5 π}{12}

\frac{θ}{2} = 2 πn + \frac{5 π}{12}

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{θ}{2} = 2 πn + \frac{5 π}{12}

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 θ}{2} = 2 \cdot 2 πn + 2 \cdot \frac{5 π}{12}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} = 2 \cdot 2 πn + 2 \cdot \frac{5 π}{12}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Vereinfache

2 \cdot 2 πn + 2 \cdot \frac{5 π}{12} : 4 πn + \frac{5 π}{6}

2 \cdot 2 πn + 2 \cdot \frac{5 π}{12}

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

2 \cdot \frac{5 π}{12} = \frac{5 π}{6}

2 \cdot \frac{5 π}{12}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 π 2}{12}

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 2 = 10

= \frac{10 π}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{5 π}{6}

= 4 πn + \frac{5 π}{6}

θ = 4 πn + \frac{5 π}{6}

θ = 4 πn + \frac{5 π}{6}

θ = 4 πn + \frac{5 π}{6}

Löse

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{4} + 2 πn : θ = 4 πn + \frac{11 π}{6}

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{6}

auf die rechte Seite

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Füge

\frac{π}{6}

zu beiden Seiten hinzu

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} + \frac{π}{6} = \frac{3 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{6}

Vereinfache

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} + \frac{π}{6} = \frac{3 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{6}

Vereinfache

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} + \frac{π}{6} : \frac{θ}{2}

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} + \frac{π}{6}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{π}{6} + \frac{π}{6} = 0

= \frac{θ}{2}

Vereinfache

\frac{3 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{6} : 2 πn + \frac{11 π}{12}

\frac{3 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{6}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn + \frac{π}{6} + \frac{3 π}{4}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

6, 4 : 12

6, 4

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

6 : 2 \cdot 3

6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3

Primfaktorzerlegung von

4 : 2 \cdot 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

6

oder

4

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

12

Für

\frac{π}{6} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

\frac{π}{6} = \frac{π 2}{6 \cdot 2} = \frac{π 2}{12}

Für

\frac{3 π}{4} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

3

\frac{3 π}{4} = \frac{3 π 3}{4 \cdot 3} = \frac{9 π}{12}

= \frac{π 2}{12} + \frac{9 π}{12}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 2 + 9 π}{12}

Addiere gleiche Elemente:

2 π + 9 π = 11 π

= 2 πn + \frac{11 π}{12}

\frac{θ}{2} = 2 πn + \frac{11 π}{12}

\frac{θ}{2} = 2 πn + \frac{11 π}{12}

\frac{θ}{2} = 2 πn + \frac{11 π}{12}

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{θ}{2} = 2 πn + \frac{11 π}{12}

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 θ}{2} = 2 \cdot 2 πn + 2 \cdot \frac{11 π}{12}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} = 2 \cdot 2 πn + 2 \cdot \frac{11 π}{12}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Vereinfache

2 \cdot 2 πn + 2 \cdot \frac{11 π}{12} : 4 πn + \frac{11 π}{6}

2 \cdot 2 πn + 2 \cdot \frac{11 π}{12}

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

2 \cdot \frac{11 π}{12} = \frac{11 π}{6}

2 \cdot \frac{11 π}{12}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{11 π 2}{12}

Multipliziere die Zahlen:

11 \cdot 2 = 22

= \frac{22 π}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{11 π}{6}

= 4 πn + \frac{11 π}{6}

θ = 4 πn + \frac{11 π}{6}

θ = 4 πn + \frac{11 π}{6}

θ = 4 πn + \frac{11 π}{6}

θ = 4 πn + \frac{5 π}{6}, θ = 4 πn + \frac{11 π}{6}

sin (\frac{θ}{2} - \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2} : θ = 4 πn + \frac{17 π}{6}, θ = 4 πn + \frac{23 π}{6}

sin (\frac{θ}{2} - \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (\frac{θ}{2} - \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, \frac{θ}{2} - \frac{π}{6} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, \frac{θ}{2} - \frac{π}{6} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Löse

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{4} + 2 πn : θ = 4 πn + \frac{17 π}{6}

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{6}

auf die rechte Seite

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Füge

\frac{π}{6}

zu beiden Seiten hinzu

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} + \frac{π}{6} = \frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{6}

Vereinfache

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} + \frac{π}{6} = \frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{6}

Vereinfache

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} + \frac{π}{6} : \frac{θ}{2}

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} + \frac{π}{6}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{π}{6} + \frac{π}{6} = 0

= \frac{θ}{2}

Vereinfache

\frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{6} : 2 πn + \frac{17 π}{12}

\frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{6}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn + \frac{π}{6} + \frac{5 π}{4}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

6, 4 : 12

6, 4

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

6 : 2 \cdot 3

6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3

Primfaktorzerlegung von

4 : 2 \cdot 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

6

oder

4

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

12

Für

\frac{π}{6} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

\frac{π}{6} = \frac{π 2}{6 \cdot 2} = \frac{π 2}{12}

Für

\frac{5 π}{4} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

3

\frac{5 π}{4} = \frac{5 π 3}{4 \cdot 3} = \frac{15 π}{12}

= \frac{π 2}{12} + \frac{15 π}{12}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 2 + 15 π}{12}

Addiere gleiche Elemente:

2 π + 15 π = 17 π

= 2 πn + \frac{17 π}{12}

\frac{θ}{2} = 2 πn + \frac{17 π}{12}

\frac{θ}{2} = 2 πn + \frac{17 π}{12}

\frac{θ}{2} = 2 πn + \frac{17 π}{12}

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{θ}{2} = 2 πn + \frac{17 π}{12}

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 θ}{2} = 2 \cdot 2 πn + 2 \cdot \frac{17 π}{12}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} = 2 \cdot 2 πn + 2 \cdot \frac{17 π}{12}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Vereinfache

2 \cdot 2 πn + 2 \cdot \frac{17 π}{12} : 4 πn + \frac{17 π}{6}

2 \cdot 2 πn + 2 \cdot \frac{17 π}{12}

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

2 \cdot \frac{17 π}{12} = \frac{17 π}{6}

2 \cdot \frac{17 π}{12}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{17 π 2}{12}

Multipliziere die Zahlen:

17 \cdot 2 = 34

= \frac{34 π}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{17 π}{6}

= 4 πn + \frac{17 π}{6}

θ = 4 πn + \frac{17 π}{6}

θ = 4 πn + \frac{17 π}{6}

θ = 4 πn + \frac{17 π}{6}

Löse

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} = \frac{7 π}{4} + 2 πn : θ = 4 πn + \frac{23 π}{6}

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{6}

auf die rechte Seite

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Füge

\frac{π}{6}

zu beiden Seiten hinzu

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} + \frac{π}{6} = \frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{6}

Vereinfache

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} + \frac{π}{6} = \frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{6}

Vereinfache

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} + \frac{π}{6} : \frac{θ}{2}

\frac{θ}{2} - \frac{π}{6} + \frac{π}{6}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{π}{6} + \frac{π}{6} = 0

= \frac{θ}{2}

Vereinfache

\frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{6} : 2 πn + \frac{23 π}{12}

\frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{6}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn + \frac{π}{6} + \frac{7 π}{4}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

6, 4 : 12

6, 4

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

6 : 2 \cdot 3

6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3

Primfaktorzerlegung von

4 : 2 \cdot 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

6

oder

4

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

12

Für

\frac{π}{6} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

\frac{π}{6} = \frac{π 2}{6 \cdot 2} = \frac{π 2}{12}

Für

\frac{7 π}{4} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

3

\frac{7 π}{4} = \frac{7 π 3}{4 \cdot 3} = \frac{21 π}{12}

= \frac{π 2}{12} + \frac{21 π}{12}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 2 + 21 π}{12}

Addiere gleiche Elemente:

2 π + 21 π = 23 π

= 2 πn + \frac{23 π}{12}

\frac{θ}{2} = 2 πn + \frac{23 π}{12}

\frac{θ}{2} = 2 πn + \frac{23 π}{12}

\frac{θ}{2} = 2 πn + \frac{23 π}{12}

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{θ}{2} = 2 πn + \frac{23 π}{12}

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 θ}{2} = 2 \cdot 2 πn + 2 \cdot \frac{23 π}{12}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} = 2 \cdot 2 πn + 2 \cdot \frac{23 π}{12}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Vereinfache

2 \cdot 2 πn + 2 \cdot \frac{23 π}{12} : 4 πn + \frac{23 π}{6}

2 \cdot 2 πn + 2 \cdot \frac{23 π}{12}

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

2 \cdot \frac{23 π}{12} = \frac{23 π}{6}

2 \cdot \frac{23 π}{12}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{23 π 2}{12}

Multipliziere die Zahlen:

23 \cdot 2 = 46

= \frac{46 π}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{23 π}{6}

= 4 πn + \frac{23 π}{6}

θ = 4 πn + \frac{23 π}{6}

θ = 4 πn + \frac{23 π}{6}

θ = 4 πn + \frac{23 π}{6}

θ = 4 πn + \frac{17 π}{6}, θ = 4 πn + \frac{23 π}{6}

Kombiniere alle Lösungen

θ = 4 πn + \frac{5 π}{6}, θ = 4 πn + \frac{11 π}{6}, θ = 4 πn + \frac{17 π}{6}, θ = 4 πn + \frac{23 π}{6}

Graph

Beliebte Beispiele

cos^2(36)-sin^2(36)=cos(x)

cos^{2} (3 6^{\circ}) - sin^{2} (3 6^{\circ}) = cos (x)

23cos(x)=-17-cos(x)

23 cos (x) = - 17 - cos (x)

8cos^2(θ)+14cos(θ)-11=8cos(θ)-6

8 cos^{2} (θ) + 14 cos (θ) - 11 = 8 cos (θ) - 6

sin^2(x)(tan^2(x))=1-sin^2(x)

sin^{2} (x) (tan^{2} (x)) = 1 - sin^{2} (x)

2sin^2(x)=3-5cos(x)

2 sin^{2} (x) = 3 - 5 cos (x)