integral of 1/(2-e^{-x)}

Lösung

\int \frac{1}{2 - e ^{- x}} d x

\frac{x}{2} + \frac{1}{2} ln e^{- x} - 2 + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{2 - e ^{- x}} d x

Wende U-Substitution an

= \int - \frac{1}{u ( 2 - u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{u ( 2 - u )} d u

Vervollständige das Quadrat

u (2 - u) : - (u - 1)^{2} + 1

= - \int \frac{1}{- ( u - 1 ) ^{2} + 1} d u

Wende U-Substitution an

= - \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= - (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2})

Ersetze zurück

= - (\frac{ln ∣ e ^{- x} - 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ e ^{- x} - 1 - 1 ∣}{2})

Vereinfache

- (\frac{ln ∣ e ^{- x} - 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ e ^{- x} - 1 - 1 ∣}{2}) : \frac{x}{2} + \frac{1}{2} ln e^{- x} - 2

= \frac{x}{2} + \frac{1}{2} ln e^{- x} - 2

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x}{2} + \frac{1}{2} ln e^{- x} - 2 + C

\frac{\partial}{\partial y} (x^{2} - x yz)

\int e^{3 x} - \frac{1}{( x + 4 ) ^{2}} d x

\int \frac{1}{x ( ln ( x ^{6} ) ) ^{8}} d x

\int \frac{2 x ^{1}}{( x ^{5} ) ^{3}} d x

\int \frac{1}{x} + \frac{1}{2 - x} d x