integral of e^{3x}(3x^2y+2xy+y^3)

解

\int e^{3 x} (3 x^{2} y + 2 x y + y^{3}) d x

y e^{3 x} x^{2} + \frac{1}{3} y^{3} e^{3 x} + C

解答ステップ

\int e^{3 x} (3 x^{2} y + 2 x y + y^{3}) d x

拡張

(y^{3} + 2 y x + 3 y x^{2}) e^{3 x} : y^{3} e^{3 x} + 2 y e^{3 x} x + 3 y e^{3 x} x^{2}

= \int y^{3} e^{3 x} + 2 y e^{3 x} x + 3 y e^{3 x} x^{2} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int y^{3} e^{3 x} d x + \int 2 y e^{3 x} x d x + \int 3 y e^{3 x} x^{2} d x

\int y^{3} e^{3 x} d x = y^{3} \frac{1}{3} e^{3 x}

\int 2 y e^{3 x} x d x = \frac{2}{9} y (3 e^{3 x} x - e^{3 x})

\int 3 y e^{3 x} x^{2} d x = y e^{3 x} x^{2} - \frac{2}{3} y e^{3 x} x + \frac{2}{9} y e^{3 x}

= y^{3} \frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{2}{9} y (3 e^{3 x} x - e^{3 x}) + y e^{3 x} x^{2} - \frac{2}{3} y e^{3 x} x + \frac{2}{9} y e^{3 x}

簡素化

y^{3} \frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{2}{9} y (3 e^{3 x} x - e^{3 x}) + y e^{3 x} x^{2} - \frac{2}{3} y e^{3 x} x + \frac{2}{9} y e^{3 x} : y e^{3 x} x^{2} + \frac{1}{3} y^{3} e^{3 x}

= y e^{3 x} x^{2} + \frac{1}{3} y^{3} e^{3 x}

定数を解答に追加する

= y e^{3 x} x^{2} + \frac{1}{3} y^{3} e^{3 x} + C