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integral of 5/(x^2+4x-1)

Lösung

\int \frac{5}{x ^{2} + 4 x - 1} d x

- 5 (\frac{1}{2} ln \frac{x + 2}{5} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{x + 2}{5} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{5}{x ^{2} + 4 x - 1} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \int \frac{1}{x ^{2} + 4 x - 1} d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} + 4 x - 1 : (x + 2)^{2} - 5

= 5 \cdot \int \frac{1}{( x + 2 ) ^{2} - 5} d x

Wende U-Substitution an

= 5 \cdot \int \frac{1}{u ^{2} - 5} d u

Wende integrale Substitution an

= 5 \cdot \int \frac{1}{5 ( v ^{2} - 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \frac{1}{5} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} - 1} d v

Faktorisiere

v^{2} - 1 : - (- v^{2} + 1)

= 5 \cdot \frac{1}{5} \cdot \int \frac{1}{- ( - v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \frac{1}{5} (- \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= 5 \cdot \frac{1}{5} (- (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}))

Ersetze zurück

= 5 \cdot \frac{1}{5} - \frac{ln \frac{x + 2}{5} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x + 2}{5} - 1}{2}

Vereinfache

5 \cdot \frac{1}{5} - \frac{ln \frac{x + 2}{5} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x + 2}{5} - 1}{2} : - 5 (\frac{1}{2} ln \frac{x + 2}{5} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{x + 2}{5} - 1)

= - 5 (\frac{1}{2} ln \frac{x + 2}{5} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{x + 2}{5} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - 5 (\frac{1}{2} ln \frac{x + 2}{5} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{x + 2}{5} - 1) + C

\int \frac{1}{x ( x ^{2} + 1 )} d x

d er i v a t i v e cos (e^{- t^{2}})

\int_{0}^{π} sin (6 x) cos (3 x) d x

\int - 2 e^{x} (e^{x} - 1)^{3} d x

d er i v a t i v e 9 arctan (x - 1 + x^{2})