integral of 1/3 (x^2+2)^{3/2}

解

\int \frac{1}{3} (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}} d x

\frac{1}{12} (3 x (x^{2} + 2)^{\frac{1}{2}} + x (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}} + 6 ln \frac{x}{2 ^{\frac{1}{2}}} + \frac{x ^{2} + 2}{2}) + C

解答ステップ

\int \frac{1}{3} (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}} d x

部分積分を適用する

= \frac{1}{3} (x (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}} - \int 3 x^{2} (x^{2} + 2)^{\frac{1}{2}} d x)

\int 3 x^{2} (x^{2} + 2)^{\frac{1}{2}} d x = 12 (- \frac{1}{16} (x (2 + x^{2})^{\frac{1}{2}} + 2 ln \frac{x}{2 ^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 + x ^{2}}{2}) + \frac{1}{16} x (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}})

= \frac{1}{3} (x (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}} - 12 (- \frac{1}{16} (x (2 + x^{2})^{\frac{1}{2}} + 2 ln \frac{x}{2 ^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 + x ^{2}}{2}) + \frac{1}{16} x (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}}))

簡素化

\frac{1}{3} (x (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}} - 12 (- \frac{1}{16} (x (2 + x^{2})^{\frac{1}{2}} + 2 ln \frac{x}{2 ^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 + x ^{2}}{2}) + \frac{1}{16} x (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}})) : \frac{1}{12} (3 x (x^{2} + 2)^{\frac{1}{2}} + x (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}} + 6 ln \frac{x}{2 ^{\frac{1}{2}}} + \frac{x ^{2} + 2}{2})

= \frac{1}{12} (3 x (x^{2} + 2)^{\frac{1}{2}} + x (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}} + 6 ln \frac{x}{2 ^{\frac{1}{2}}} + \frac{x ^{2} + 2}{2})

定数を解答に追加する

= \frac{1}{12} (3 x (x^{2} + 2)^{\frac{1}{2}} + x (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}} + 6 ln \frac{x}{2 ^{\frac{1}{2}}} + \frac{x ^{2} + 2}{2}) + C