integral from 0 to x of 1/(v-kx)

解

\int_{0}^{x} \frac{1}{v - k x} d x

- \frac{ln ∣ v - k x ∣ - ln ∣ v ∣}{k}

解答ステップ

\int_{0}^{x} \frac{1}{v - k x} d x

u置換積分法を適用する

= \int_{v}^{v - k x} - \frac{1}{k u} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{k} \cdot \int_{v}^{v - k x} \frac{1}{u} d u

共通積分を使用する:

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

= - \frac{1}{k} [ln ∣ u ∣]_{v}^{v - k x}

限度を計算する:

ln ∣ v - k x ∣ - ln ∣ v ∣

= - \frac{1}{k} (ln ∣ v - k x ∣ - ln ∣ v ∣)

簡素化

= - \frac{ln ∣ v - k x ∣ - ln ∣ v ∣}{k}