integral from 1 to 2 of e^{-st}(t)

解

\int_{1}^{2} e^{- s t} (t) d t

\frac{- 2 s e ^{- 2 s} - e ^{- 2 s} + s e ^{- s} + e ^{- s}}{s ^{2}}

解答ステップ

\int_{1}^{2} e^{- s t} t d t

u置換積分法を適用する

= \int_{- s}^{- s \cdot 2} \frac{e ^{u} u}{s ^{2}} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{s ^{2}} \cdot \int_{- s}^{- s \cdot 2} e^{u} u d u

部分積分を適用する

= \frac{1}{s ^{2}} [e^{u} u - \int e^{u} d u]_{- s}^{- 2 s}

\int e^{u} d u = e^{u}

= \frac{1}{s ^{2}} [e^{u} u - e^{u}]_{- s}^{- 2 s}

簡素化

\frac{1}{s ^{2}} [e^{u} u - e^{u}]_{- s}^{- 2 s} : \frac{[ e ^{u} u - e ^{u} ] _{- s}^{- 2 s}}{s ^{2}}

= \frac{[ e ^{u} u - e ^{u} ] _{- s}^{- 2 s}}{s ^{2}}

限度を計算する:

- 2 s e^{- 2 s} - e^{- 2 s} + s e^{- s} + e^{- s}

= \frac{- 2 s e ^{- 2 s} - e ^{- 2 s} + s e ^{- s} + e ^{- s}}{s ^{2}}