integral of x^3ln(1+x)

解

\int x^{3} ln (1 + x) d x

\frac{1}{4} x^{4} ln (1 + x) - \frac{1}{4} (\frac{x ^{4}}{4} - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} - x + ln ∣ x + 1 ∣) + C

解答ステップ

\int x^{3} ln (1 + x) d x

部分積分を適用する

= \frac{1}{4} x^{4} ln (1 + x) - \int \frac{x ^{4}}{4 ( 1 + x )} d x

\int \frac{x ^{4}}{4 ( 1 + x )} d x = \frac{1}{4} (\frac{x ^{4}}{4} - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} - x + ln ∣ x + 1 ∣)

= \frac{1}{4} x^{4} ln (1 + x) - \frac{1}{4} (\frac{x ^{4}}{4} - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} - x + ln ∣ x + 1 ∣)

定数を解答に追加する

= \frac{1}{4} x^{4} ln (1 + x) - \frac{1}{4} (\frac{x ^{4}}{4} - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} - x + ln ∣ x + 1 ∣) + C