integral of (x^2-2x+5)e^{-4x}

解

\int (x^{2} - 2 x + 5) e^{- 4 x} d x

- \frac{1}{4} e^{- 4 x} x^{2} + \frac{3}{8} e^{- 4 x} x - \frac{37}{32} e^{- 4 x} + C

解答ステップ

\int (x^{2} - 2 x + 5) e^{- 4 x} d x

拡張

(x^{2} - 2 x + 5) e^{- 4 x} : e^{- 4 x} x^{2} - 2 e^{- 4 x} x + 5 e^{- 4 x}

= \int e^{- 4 x} x^{2} - 2 e^{- 4 x} x + 5 e^{- 4 x} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{- 4 x} x^{2} d x - \int 2 e^{- 4 x} x d x + \int 5 e^{- 4 x} d x

\int e^{- 4 x} x^{2} d x = - \frac{1}{32} e^{- 4 x} (8 x^{2} + 4 x + 1)

\int 2 e^{- 4 x} x d x = \frac{1}{8} (- 4 e^{- 4 x} x - e^{- 4 x})

\int 5 e^{- 4 x} d x = - \frac{5}{4} e^{- 4 x}

= - \frac{1}{32} e^{- 4 x} (8 x^{2} + 4 x + 1) - \frac{1}{8} (- 4 e^{- 4 x} x - e^{- 4 x}) - \frac{5}{4} e^{- 4 x}

簡素化

- \frac{1}{32} e^{- 4 x} (8 x^{2} + 4 x + 1) - \frac{1}{8} (- 4 e^{- 4 x} x - e^{- 4 x}) - \frac{5}{4} e^{- 4 x} : - \frac{1}{4} e^{- 4 x} x^{2} + \frac{3}{8} e^{- 4 x} x - \frac{37}{32} e^{- 4 x}

= - \frac{1}{4} e^{- 4 x} x^{2} + \frac{3}{8} e^{- 4 x} x - \frac{37}{32} e^{- 4 x}

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{4} e^{- 4 x} x^{2} + \frac{3}{8} e^{- 4 x} x - \frac{37}{32} e^{- 4 x} + C