integral of (-x^2+3x+20)/(3x^3+12x)

解

\int \frac{- x ^{2} + 3 x + 20}{3 x ^{3} + 12 x} d x

\frac{5}{3} ln ∣ x ∣ - ln \frac{x ^{2}}{4} + 1 + \frac{1}{2} arctan (\frac{x}{2}) + C

解答ステップ

\int \frac{- x ^{2} + 3 x + 20}{3 x ^{3} + 12 x} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{- x ^{2} + 3 x + 20}{3 x ^{3} + 12 x} : \frac{5}{3 x} + \frac{- 2 x + 1}{x ^{2} + 4}

= \int \frac{5}{3 x} + \frac{- 2 x + 1}{x ^{2} + 4} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{5}{3 x} d x + \int \frac{- 2 x + 1}{x ^{2} + 4} d x

\int \frac{5}{3 x} d x = \frac{5}{3} ln ∣ x ∣

\int \frac{- 2 x + 1}{x ^{2} + 4} d x = - ln \frac{x ^{2}}{4} + 1 + \frac{1}{2} arctan (\frac{x}{2})

= \frac{5}{3} ln ∣ x ∣ - ln \frac{x ^{2}}{4} + 1 + \frac{1}{2} arctan (\frac{x}{2})

定数を解答に追加する

= \frac{5}{3} ln ∣ x ∣ - ln \frac{x ^{2}}{4} + 1 + \frac{1}{2} arctan (\frac{x}{2}) + C