integral of (x^2+7x-3)sin(2x)

解

\int (x^{2} + 7 x - 3) sin (2 x) d x

- \frac{1}{2} x^{2} cos (2 x) + \frac{1}{2} x sin (2 x) - \frac{7}{2} x cos (2 x) + \frac{7}{4} cos (2 x) + \frac{7}{4} sin (2 x) + C

解答ステップ

\int (x^{2} + 7 x - 3) sin (2 x) d x

拡張

(x^{2} + 7 x - 3) sin (2 x) : x^{2} sin (2 x) + 7 x sin (2 x) - 3 sin (2 x)

= \int x^{2} sin (2 x) + 7 x sin (2 x) - 3 sin (2 x) d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int x^{2} sin (2 x) d x + \int 7 x sin (2 x) d x - \int 3 sin (2 x) d x

\int x^{2} sin (2 x) d x = - \frac{1}{2} x^{2} cos (2 x) + \frac{1}{4} (2 x sin (2 x) + cos (2 x))

\int 7 x sin (2 x) d x = 7 (- \frac{1}{2} x cos (2 x) + \frac{1}{4} sin (2 x))

\int 3 sin (2 x) d x = - \frac{3}{2} cos (2 x)

= - \frac{1}{2} x^{2} cos (2 x) + \frac{1}{4} (2 x sin (2 x) + cos (2 x)) + 7 (- \frac{1}{2} x cos (2 x) + \frac{1}{4} sin (2 x)) - (- \frac{3}{2} cos (2 x))

簡素化

- \frac{1}{2} x^{2} cos (2 x) + \frac{1}{4} (2 x sin (2 x) + cos (2 x)) + 7 (- \frac{1}{2} x cos (2 x) + \frac{1}{4} sin (2 x)) - (- \frac{3}{2} cos (2 x)) : - \frac{1}{2} x^{2} cos (2 x) + \frac{1}{2} x sin (2 x) - \frac{7}{2} x cos (2 x) + \frac{7}{4} cos (2 x) + \frac{7}{4} sin (2 x)

= - \frac{1}{2} x^{2} cos (2 x) + \frac{1}{2} x sin (2 x) - \frac{7}{2} x cos (2 x) + \frac{7}{4} cos (2 x) + \frac{7}{4} sin (2 x)

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{2} x^{2} cos (2 x) + \frac{1}{2} x sin (2 x) - \frac{7}{2} x cos (2 x) + \frac{7}{4} cos (2 x) + \frac{7}{4} sin (2 x) + C