integral of (x^2+3x+2)e^{2x}

解

\int (x^{2} + 3 x + 2) e^{2 x} d x

\frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} x + \frac{1}{2} e^{2 x} + C

解答ステップ

\int (x^{2} + 3 x + 2) e^{2 x} d x

拡張

(x^{2} + 3 x + 2) e^{2 x} : e^{2 x} x^{2} + 3 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}

= \int e^{2 x} x^{2} + 3 e^{2 x} x + 2 e^{2 x} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{2 x} x^{2} d x + \int 3 e^{2 x} x d x + \int 2 e^{2 x} d x

\int e^{2 x} x^{2} d x = \frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} - \frac{1}{4} (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x})

\int 3 e^{2 x} x d x = \frac{3}{4} (2 e^{2 x} x - e^{2 x})

\int 2 e^{2 x} d x = e^{2 x}

= \frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} - \frac{1}{4} (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x}) + \frac{3}{4} (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) + e^{2 x}

簡素化

\frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} - \frac{1}{4} (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x}) + \frac{3}{4} (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) + e^{2 x} : \frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} x + \frac{1}{2} e^{2 x}

= \frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} x + \frac{1}{2} e^{2 x}

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} x + \frac{1}{2} e^{2 x} + C