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integral of (x^2)/((9-x^2)^{5/2)}

Lösung

\int \frac{x ^{2}}{( 9 - x ^{2} ) ^{\frac{5}{2}}} d x

\frac{x ^{3}}{27 ( 9 - x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{2}}{( 9 - x ^{2} ) ^{\frac{5}{2}}} d x

Multipliziere mit der Konjugation von

9 - x^{2} : \frac{81 - x ^{4}}{9 + x ^{2}}

= \int \frac{x ^{2}}{( \frac{81 - x ^{4}}{9 + x ^{2}} ) ^{\frac{5}{2}}} d x

Wende integrale Substitution an

= \int \frac{u ^{2}}{9 ( - ( u + 1 ) ( u - 1 ) ) ^{\frac{5}{2}}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{9} \cdot \int \frac{u ^{2}}{( - ( u + 1 ) ( u - 1 ) ) ^{\frac{5}{2}}} d u

Multipliziere mit der Konjugation von

u + 1 : \frac{u ^{2} - 1}{u - 1}

= \frac{1}{9} \cdot \int \frac{u ^{2}}{( - \frac{u ^{2} - 1}{u - 1} ( u - 1 ) ) ^{\frac{5}{2}}} d u

Multipliziere

- \frac{u ^{2} - 1}{u - 1} (u - 1) : - u^{2} + 1

= \frac{1}{9} \cdot \int \frac{u ^{2}}{( - u ^{2} + 1 ) ^{\frac{5}{2}}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \frac{1}{9} \cdot \int \frac{sin ^{2} ( v )}{cos ^{4} ( v )} d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{9} \cdot \int \frac{tan ^{2} ( v )}{cos ^{2} ( v )} d v

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{9} \cdot \int w^{2} d w

Wende die Potenzregel an

= \frac{1}{9} \cdot \frac{w ^{3}}{3}

Ersetze zurück

= \frac{1}{9} \cdot \frac{tan ^{3} ( arcsin ( \frac{x}{3} ) )}{3}

Vereinfache

\frac{1}{9} \cdot \frac{tan ^{3} ( arcsin ( \frac{x}{3} ) )}{3} : \frac{x ^{3}}{27 ( 9 - x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}

= \frac{x ^{3}}{27 ( 9 - x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x ^{3}}{27 ( 9 - x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} + C

\int 1 e^{- θ} cos (7 θ) d θ

\int \frac{9 x ^{3} - 6 x + 2}{x ^{3} - x ^{2}} d x

\int \frac{x ^{- 2}}{x ^{4}} d x

\int \frac{1}{4 x ^{2} + 4 x + 3} d x

\int x^{\frac{1}{2}} + 8 d x