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integral of 1/((1+\sqrt[3]{x+1))}

解答

\int \frac{1}{( 1 + 3 x + 1 )} d x

解答

3 (\frac{( 1 + 3 x + 1 ) ^{2}}{2} - 2 (1 + 3 x + 1) + ln 1 + 3 x + 1) + C

求解步骤

\int \frac{1}{1 + 3 x + 1} d x

使用换元积分法

= \int \frac{1}{1 + 3 u} d u

使用换元积分法

= \int \frac{3 v ^{2}}{1 + v} d v

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int \frac{v ^{2}}{1 + v} d v

使用换元积分法

= 3 \cdot \int \frac{( w - 1 ) ^{2}}{w} d w

乘开

\frac{( w - 1 ) ^{2}}{w} : w - 2 + \frac{1}{w}

= 3 \cdot \int w - 2 + \frac{1}{w} d w

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 3 (\int w d w - \int 2 d w + \int \frac{1}{w} d w)

\int w d w = \frac{w ^{2}}{2}

\int 2 d w = 2 w

\int \frac{1}{w} d w = ln ∣ w ∣

= 3 (\frac{w ^{2}}{2} - 2 w + ln ∣ w ∣)

代回

= 3 (\frac{( 1 + 3 x + 1 ) ^{2}}{2} - 2 (1 + 3 x + 1) + ln 1 + 3 x + 1)

解答补常数

= 3 (\frac{( 1 + 3 x + 1 ) ^{2}}{2} - 2 (1 + 3 x + 1) + ln 1 + 3 x + 1) + C

作图

流行的例子

integral of (2t)/(t^2+4)

\int \frac{2 t}{t ^{2} + 4} d t

integral of (2x^2-1)/(x^3-5x^2+6x)

\int \frac{2 x ^{2} - 1}{x ^{3} - 5 x ^{2} + 6 x} d x

integral of (x^2-6x)^5(x-3)

\int (x^{2} - 6 x)^{5} (x - 3) d x

integral of x^{-3}+2x-6x^2+cos(x)

\int x^{- 3} + 2 x - 6 x^{2} + cos (x) d x

integral of xsqrt((x+3))

\int x (x + 3) d x