解答
∫4x2+x−3(m−24)x+(m+18)dx
解答
8mln64x2+16x−48−3ln64x2+16x−48−8m(ln78x+78−ln78x−76)−3ln78x+78+3ln78x−76+C
求解步骤
∫4x2+x−3(m−24)x+m+18dx
对 4x2+x−3配方:4(x+81)2−1649
=∫4(x+81)2−1649(m−24)x+m+18dx
使用换元积分法
=∫64u2−492(8mu−192u+7m+168)du
提出常数: ∫a⋅f(x)dx=a⋅∫f(x)dx=2⋅∫64u2−498mu−192u+7m+168du
乘开 64u2−498mu−192u+7m+168:64u2−498mu−64u2−49192u+64u2−497m+64u2−49168
使用积分加法定则: ∫f(x)±g(x)dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx=2(∫64u2−498mudu−∫64u2−49192udu+∫64u2−497mdu+∫64u2−49168du)
∫64u2−498mudu=161mln64u2−49
∫64u2−49192udu=23ln64u2−49
∫64u2−497mdu=−16m(ln78u+1−ln78u−1)
∫64u2−49168du=−3(21ln78u+1−21ln78u−1)
=2(161mln64u2−49−23ln64u2−49−16m(ln78u+1−ln78u−1)−3(21ln78u+1−21ln78u−1))
u=x+81代回=2(161mln64(x+81)2−49−23ln64(x+81)2−49−16m(ln78(x+81)+1−ln78(x+81)−1)−3(21ln78(x+81)+1−21ln78(x+81)−1))
化简 2(161mln64(x+81)2−49−23ln64(x+81)2−49−16m(ln78(x+81)+1−ln78(x+81)−1)−3(21ln78(x+81)+1−21ln78(x+81)−1)):8mln64x2+16x−48−3ln64x2+16x−48−8m(ln78x+78−ln78x−76)−3ln78x+78+3ln78x−76
=8mln64x2+16x−48−3ln64x2+16x−48−8m(ln78x+78−ln78x−76)−3ln78x+78+3ln78x−76
解答补常数=8mln64x2+16x−48−3ln64x2+16x−48−8m(ln78x+78−ln78x−76)−3ln78x+78+3ln78x−76+C