inverselaplace ((1+e^{-2s})^2)/(s+2)

解

逆ラプラス

\frac{( 1 + e ^{- 2 s} ) ^{2}}{s + 2}

e^{- 2 t} + 2 H (t - 2) e^{- 2 (t - 2)} + H (t - 4) e^{- 2 (t - 4)}

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{( 1 + e ^{- 2 s} ) ^{2}}{s + 2}}

拡張

\frac{( 1 + e ^{- 2 s} ) ^{2}}{s + 2} : \frac{1 + 2 e ^{- 2 s} + e ^{- 4 s}}{s + 2}

= L^{- 1} {\frac{1 + 2 e ^{- 2 s} + e ^{- 4 s}}{s + 2}}

拡張

= L^{- 1} {\frac{1}{s + 2} + \frac{2 e ^{- 2 s}}{s + 2} + \frac{e ^{- 4 s}}{s + 2}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{s + 2}} + 2 L^{- 1} {\frac{e ^{- 2 s}}{s + 2}} + L^{- 1} {\frac{e ^{- 4 s}}{s + 2}}

L^{- 1} {\frac{1}{s + 2}} : e^{- 2 t}

L^{- 1} {\frac{e ^{- 2 s}}{s + 2}} : H (t - 2) e^{- 2 (t - 2)}

L^{- 1} {\frac{e ^{- 4 s}}{s + 2}} : H (t - 4) e^{- 2 (t - 4)}

= e^{- 2 t} + 2 H (t - 2) e^{- 2 (t - 2)} + H (t - 4) e^{- 2 (t - 4)}