integral of (e^y(1-e^{-2y}))/((e^y+e^{-y))}

解

\int \frac{e ^{y} ( 1 - e ^{- 2 y} )}{( e ^{y} + e ^{- y} )} d y

\frac{e ^{2 y} y ( 1 - e ^{- 2 y} )}{e ^{2 y} + 1} - 4 (- \frac{y}{2 ( e ^{2 y} + 1 )} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} ln e^{2 y} + 1 + y)) + C

解答ステップ

\int \frac{e ^{y} ( 1 - e ^{- 2 y} )}{e ^{y} + e ^{- y}} d y

部分積分を適用する

= \frac{e ^{2 y} y ( 1 - e ^{- 2 y} )}{e ^{2 y} + 1} - \int \frac{4 y}{( e ^{y} + e ^{- y} ) ^{2}} d y

\int \frac{4 y}{( e ^{y} + e ^{- y} ) ^{2}} d y = 4 (- \frac{y}{2 ( e ^{2 y} + 1 )} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} ln e^{2 y} + 1 + y))

= \frac{e ^{2 y} y ( 1 - e ^{- 2 y} )}{e ^{2 y} + 1} - 4 (- \frac{y}{2 ( e ^{2 y} + 1 )} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} ln e^{2 y} + 1 + y))

定数を解答に追加する

= \frac{e ^{2 y} y ( 1 - e ^{- 2 y} )}{e ^{2 y} + 1} - 4 (- \frac{y}{2 ( e ^{2 y} + 1 )} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} ln e^{2 y} + 1 + y)) + C