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integral of e^{-st}sin(at)

解答

\int e^{- s t} sin (a t) d t

解答

- \frac{a e ^{- s t} cos ( a t )}{a ^{2} + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} sin ( a t )}{a ^{2} + s ^{2}} + C

求解步骤

\int e^{- s t} sin (a t) d t

使用分布积分法

= - e^{- s t} \frac{1}{a} cos (a t) - \int s e^{- s t} \frac{1}{a} cos (a t) d t

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{- s t} \frac{1}{a} cos (a t) - s \frac{1}{a} \cdot \int e^{- s t} cos (a t) d t

化简

s \frac{1}{a} : \frac{s}{a}

= - e^{- s t} \frac{1}{a} cos (a t) - \frac{s}{a} \cdot \int e^{- s t} cos (a t) d t

使用分布积分法

= - e^{- s t} \frac{1}{a} cos (a t) - \frac{s}{a} (e^{- s t} \frac{1}{a} sin (a t) - \int - s e^{- s t} \frac{1}{a} sin (a t) d t)

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{- s t} \frac{1}{a} cos (a t) - \frac{s}{a} (e^{- s t} \frac{1}{a} sin (a t) - (- s \frac{1}{a} \cdot \int e^{- s t} sin (a t) d t))

化简

- s \frac{1}{a} : - \frac{s}{a}

= - e^{- s t} \frac{1}{a} cos (a t) - \frac{s}{a} (e^{- s t} \frac{1}{a} sin (a t) - (- \frac{s}{a} \cdot \int e^{- s t} sin (a t) d t))

因此

\int e^{- s t} sin (a t) d t = - e^{- s t} \frac{1}{a} cos (a t) - \frac{s}{a} (e^{- s t} \frac{1}{a} sin (a t) - (- \frac{s}{a} \cdot \int e^{- s t} sin (a t) d t))

整理

\int e^{- s t} sin (a t) d t

= - \frac{a e ^{- s t} cos ( a t )}{a ^{2} + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} sin ( a t )}{a ^{2} + s ^{2}}

解答补常数

= - \frac{a e ^{- s t} cos ( a t )}{a ^{2} + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} sin ( a t )}{a ^{2} + s ^{2}} + C

作图

流行的例子

integral from-7 to 9 of (x/2+9)

\int_{- 7}^{9} (\frac{x}{2} + 9) d x

limit as x approaches 2 of x/x

x \to 2 lim (\frac{x}{x})

derivative of cos(2x*2)

\frac{d}{d x} (cos (2 x) \cdot 2)

derivative y=(x^7)/(x^5)x=0

d er i v a t i v e y = \frac{x ^{7}}{x ^{5}} x = 0

integral of sqrt((4-x)/(4+x))

\int \frac{4 - x}{4 + x} d x