inverselaplace 3/(s(s-1)^3)

解

逆ラプラス

\frac{3}{s ( s - 1 ) ^{3}}

- 3 H (t) + 3 e^{t} - e^{t} \cdot 3 t + \frac{3 e ^{t} t ^{2}}{2}

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{3}{s ( s - 1 ) ^{3}}}

以下の部分分数を得る:

\frac{3}{s ( s - 1 ) ^{3}} : - \frac{3}{s} + \frac{3}{s - 1} - \frac{3}{( s - 1 ) ^{2}} + \frac{3}{( s - 1 ) ^{3}}

= L^{- 1} {- \frac{3}{s} + \frac{3}{s - 1} - \frac{3}{( s - 1 ) ^{2}} + \frac{3}{( s - 1 ) ^{3}}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= - L^{- 1} {\frac{3}{s}} + L^{- 1} {\frac{3}{s - 1}} - L^{- 1} {\frac{3}{( s - 1 ) ^{2}}} + L^{- 1} {\frac{3}{( s - 1 ) ^{3}}}

L^{- 1} {\frac{3}{s}} : 3 H (t)

L^{- 1} {\frac{3}{s - 1}} : 3 e^{t}

L^{- 1} {\frac{3}{( s - 1 ) ^{2}}} : e^{t} \cdot 3 t

L^{- 1} {\frac{3}{( s - 1 ) ^{3}}} : \frac{3 e ^{t} t ^{2}}{2}

= - 3 H (t) + 3 e^{t} - e^{t} \cdot 3 t + \frac{3 e ^{t} t ^{2}}{2}