integral of sin^2(2x)cos(x)

Lösung

\int sin^{2} (2 x) cos (x) d x

4 (\frac{sin ^{3} ( x )}{3} - \frac{sin ^{5} ( x )}{5}) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{2} (2 x) cos (x) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int 4 cos^{3} (x) sin^{2} (x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int cos^{3} (x) sin^{2} (x) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 4 \cdot \int (1 - sin^{2} (x)) cos (x) sin^{2} (x) d x

Wende U-Substitution an

= 4 \cdot \int u^{2} (1 - u^{2}) d u

Multipliziere aus

u^{2} (1 - u^{2}) : u^{2} - u^{4}

= 4 \cdot \int u^{2} - u^{4} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 4 (\int u^{2} d u - \int u^{4} d u)

\int u^{2} d u = \frac{u ^{3}}{3}

\int u^{4} d u = \frac{u ^{5}}{5}

= 4 (\frac{u ^{3}}{3} - \frac{u ^{5}}{5})

Setze in

u = sin (x)

ein

= 4 (\frac{sin ^{3} ( x )}{3} - \frac{sin ^{5} ( x )}{5})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 4 (\frac{sin ^{3} ( x )}{3} - \frac{sin ^{5} ( x )}{5}) + C

\frac{d}{d x} (e^{y} cos (x))

d er i v a t i v e y = x^{2} - 7

\int \frac{8 x ^{3}}{( x ^{4} + 5 )} d x

\int \frac{x ^{3}}{x ^{2} + x - 6} d x

\frac{d}{d x} (\frac{2}{x} - \frac{3}{x ^{2}})