integral of (x-5)/(x^3+2x^2+x)

解

\int \frac{x - 5}{x ^{3} + 2 x ^{2} + x} d x

- 5 ln ∣ x ∣ + 5 ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{6}{x + 1} + C

解答ステップ

\int \frac{x - 5}{x ^{3} + 2 x ^{2} + x} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{x - 5}{x ^{3} + 2 x ^{2} + x} : - \frac{5}{x} + \frac{5}{x + 1} + \frac{6}{( x + 1 ) ^{2}}

= \int - \frac{5}{x} + \frac{5}{x + 1} + \frac{6}{( x + 1 ) ^{2}} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{6}{( x + 1 ) ^{2}} d x

\int \frac{5}{x} d x = 5 ln ∣ x ∣

\int \frac{5}{x + 1} d x = 5 ln ∣ x + 1 ∣

\int \frac{6}{( x + 1 ) ^{2}} d x = - \frac{6}{x + 1}

= - 5 ln ∣ x ∣ + 5 ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{6}{x + 1}

定数を解答に追加する

= - 5 ln ∣ x ∣ + 5 ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{6}{x + 1} + C