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integral of 15x*sqrt(1-x)

Lösung

\int 15 x \cdot 1 - x d x

Lösung

- 15 (- \frac{2}{5} (1 - x)^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} (1 - x)^{\frac{3}{2}}) + C

Schritte zur Lösung

\int 15 x 1 - x d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 15 \cdot \int x 1 - x d x

Wende U-Substitution an

= 15 \cdot \int - (- u + 1) u d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 15 (- \int (- u + 1) u d u)

Multipliziere aus

(- u + 1) u : - u^{\frac{3}{2}} + u

= 15 (- \int - u^{\frac{3}{2}} + u d u)

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 15 (- (- \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int u d u))

\int u^{\frac{3}{2}} d u = \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}

\int u d u = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}

= 15 (- (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}))

Setze in

u = 1 - x

ein

= 15 (- (- \frac{2}{5} (1 - x)^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} (1 - x)^{\frac{3}{2}}))

Vereinfache

= - 15 (- \frac{2}{5} (1 - x)^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} (1 - x)^{\frac{3}{2}})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - 15 (- \frac{2}{5} (1 - x)^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} (1 - x)^{\frac{3}{2}}) + C

Graph

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