展開する ((1+sin(θ)-cos(θ))^2)/(2(1-cos(θ)))

解

展開する

\frac{( 1 + sin ( θ ) - cos ( θ ) ) ^{2}}{2 ( 1 - cos ( θ ) )}

\frac{2 sin ( θ ) - sin ( 2 θ ) - 2 cos ( θ ) + 2}{2 - 2 cos ( θ )}

解答ステップ

\frac{( 1 + sin ( θ ) - cos ( θ ) ) ^{2}}{2 ( 1 - cos ( θ ) )}

(1 + sin (θ) - cos (θ))^{2} = 2 sin (θ) - 2 cos (θ) + sin^{2} (θ) - sin (2 θ) + cos^{2} (θ) + 1

= \frac{2 sin ( θ ) - 2 cos ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) - sin ( 2 θ ) + cos ^{2} ( θ ) + 1}{2 ( - cos ( θ ) + 1 )}

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1 - sin ( 2 θ ) - 2 cos ( θ ) + 2 sin ( θ ) + 1}{2 ( 1 - cos ( θ ) )}

1 - sin (2 θ) - 2 cos (θ) + 2 sin (θ) + 1 = 2 sin (θ) - sin (2 θ) - 2 cos (θ) + 2

= \frac{2 sin ( θ ) - sin ( 2 θ ) - 2 cos ( θ ) + 2}{2 ( - cos ( θ ) + 1 )}

拡張

2 (1 - cos (θ)) : 2 - 2 cos (θ)

= \frac{2 sin ( θ ) - sin ( 2 θ ) - 2 cos ( θ ) + 2}{2 - 2 cos ( θ )}