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sin(pi/4)sin(pi/(12))

Solução

sin (\frac{π}{4}) sin (\frac{π}{12})

Solução

\frac{3 - 1}{4}

Decimal

0.18301 \dots

Passos da solução

sin (\frac{π}{4}) sin (\frac{π}{12})

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

\frac{cos ( \frac{π}{6} ) - cos ( \frac{π}{3} )}{2}

sin (\frac{π}{4}) sin (\frac{π}{12})

Use a identidade da transformação de produto em soma:

sin (s) sin (t) = \frac{1}{2} (cos (s - t) - cos (s + t))

= \frac{1}{2} (cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{12}) - cos (\frac{π}{4} + \frac{π}{12}))

Simplificar:

\frac{π}{4} - \frac{π}{12} = \frac{π}{6}

\frac{π}{4} - \frac{π}{12}

Mínimo múltiplo comum de

4, 12 : 12

4, 12

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Decomposição em fatores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

dividida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Decomposição em fatores primos de

12 : 2 \cdot 2 \cdot 3

12

12

dividida por

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

dividida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplique cada fator o maior número de vezes que ocorre ou em

4

ou em

12

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{π}{4} :

multiplique o numerador e o denominador por

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

= \frac{π 3}{12} - \frac{π}{12}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 3 - π}{12}

Somar elementos similares:

3 π - π = 2 π

= \frac{2 π}{12}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{π}{6}

Simplificar:

\frac{π}{4} + \frac{π}{12} = \frac{π}{3}

\frac{π}{4} + \frac{π}{12}

Mínimo múltiplo comum de

4, 12 : 12

4, 12

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Decomposição em fatores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

dividida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Decomposição em fatores primos de

12 : 2 \cdot 2 \cdot 3

12

12

dividida por

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

dividida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplique cada fator o maior número de vezes que ocorre ou em

4

ou em

12

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{π}{4} :

multiplique o numerador e o denominador por

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

= \frac{π 3}{12} + \frac{π}{12}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 3 + π}{12}

Somar elementos similares:

3 π + π = 4 π

= \frac{4 π}{12}

Eliminar o fator comum:

4

= \frac{π}{3}

\frac{1}{2} (cos (\frac{π}{6}) - cos (\frac{π}{3})) = \frac{cos ( \frac{π}{6} ) - cos ( \frac{π}{3} )}{2}

\frac{1}{2} (cos (\frac{π}{6}) - cos (\frac{π}{3}))

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( cos ( \frac{π}{6} ) - cos ( \frac{π}{3} ) )}{2}

1 \cdot (cos (\frac{π}{6}) - cos (\frac{π}{3})) = cos (\frac{π}{6}) - cos (\frac{π}{3})

1 \cdot (cos (\frac{π}{6}) - cos (\frac{π}{3}))

Multiplicar:

1 \cdot (cos (\frac{π}{6}) - cos (\frac{π}{3})) = (cos (\frac{π}{6}) - cos (\frac{π}{3}))

= (cos (\frac{π}{6}) - cos (\frac{π}{3}))

Remover os parênteses:

(a) = a

= cos (\frac{π}{6}) - cos (\frac{π}{3})

= \frac{cos ( \frac{π}{6} ) - cos ( \frac{π}{3} )}{2}

= \frac{cos ( \frac{π}{6} ) - cos ( \frac{π}{3} )}{2}

= \frac{cos ( \frac{π}{6} ) - cos ( \frac{π}{3} )}{2}

Utilizar a seguinte identidade trivial:

cos (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2}

cos (\frac{π}{6})

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{3}{2}

Utilizar a seguinte identidade trivial:

cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

cos (\frac{π}{3})

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{1}{2}

= \frac{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}{2}

Simplificar

\frac{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}{2} : \frac{3 - 1}{4}

\frac{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}{2}

Combinar as frações usando o mínimo múltiplo comum:

\frac{3 - 1}{2}

Aplicar a regra

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 - 1}{2}

= \frac{\frac{3 - 1}{2}}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 - 1}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 - 1}{4}

= \frac{3 - 1}{4}

Exemplos populares

cos(123)

cos (12 3^{\circ})

cos(arccos(-0.1))

cos (arccos (- 0.1))

7*sin(50)

7 \cdot sin (5 0^{\circ})

4sinh(0)

4 sinh (0)

sin((-17pi)/6)

sin (\frac{- 17 π}{6})